如果你的孩子是个天才

如果你的孩子是个天才，你应该告诉他韦达也是一个天才。

初中二年级的学生就要学韦达定理了，韦达定理说的是方程的根和系数之间的关系。这个定理很有意思，几乎所有的中学数学竞赛，无论是国内的还是国外的，都有这方面的题。韦达定理是韦达的数学成果。

16世纪最伟大的数学家是韦达，人们常以他的半拉丁名字称呼他。他是个律师和议员，而把绝大部分闲暇贡献给了数学。他1540年出生于丰特内，1603年死于巴黎。说韦达是个天才，我绝对相信。就是有这样的一些人对于数量、图形、位置以及他们之间的逻辑关系出奇地敏感 。

大家可能会有一个奇怪的发现，我们谈过的许多数学家研究数学往往并不是他们自身的职业，也就是说数学研究往往是他们的“业余活动”，但是，他们所取得的数学成就却比我们今天以数学研究为其唯一工作的数学家还要多得多。韦达就是这样的一位天才“业余数学家”。

关于韦达，有些有趣的轶事是孩子喜欢听的，例如，有这么一个故事：

一个低地国（指比利时、荷兰、卢森堡等国）大使向国王亨利四世夸口说，法国没有一个数学家能解决他的同国人罗芒乌斯1593年提出的需要解45次方程的问题。于是，韦达被召，让他看这个方程。他认出了潜在的三角学上的联系，几分钟内就给出了两个根，后来，又求出了21个根。他把负根漏掉了。反过来，韦达向罗芒乌斯挑战，看谁能解阿波罗尼乌斯提出的问题，但是罗芒乌斯用欧几里得工具得不到解。后来，当他得知韦达的天才解法后，长途跋涉到丰特内拜访韦达，他们俩从此建立了亲密的友谊。

还有这么一个传说：

韦达成功地破译了一份西班牙的数百字的密码，因此法国用两年功夫打败了西班牙。国王菲力普二世对密码不可能被破译是那么肯定，以致他向教皇控告说， 法国在对付他的国家时采用了魔术，“与基督教信仰的惯例相矛盾” 。 据说， 当韦达被数学吸引住时， 他总是一连数日关在家里搞研究。

韦达写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中主要有：《三角学的数学基础》，《分析方法入门》，《几何补篇》，《有效的数值解法》和《论方程的整理与修正》。这些著作，除了最后一本外，都是韦达自费出版和发行的。

在《三角学的数学基础》中，包含一些对三角学的值得注意的贡献：系统地讲述用所有六种三角函数解平面和球面三角形，这在西欧也许是第一部书。该书对于解析三角学给予了密切的注意。

韦达的最著名的著作是他的《分析方法入门》，这本书对符号代数学的发展有不少贡献。在这里，韦达引进了用母音表示未知数，用子音代表已知量的习惯做法。我们现在用字母表中后面的字母表示未知数，用前面的字母表示已知数的习惯做法是笛卡儿于1637年引进的。在韦达之前，一般用不同的字母表示一个量的各种幂；韦达则用同一个字母，并适当地加以说明。

有意思的是，韦达在两个量之间用我们现在用的等号，但不是表示这两个量相等，而是表示它们的差。在《数值解法》一书中，韦达给出用逐步近似的方法求解一个方程的根的系统程序，大约直到1680年才被普遍使用。对于高次方程，用这方法相当麻烦，以致一位17世纪的数学家称之为“对基督教徒不适合的工作” 。

一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。

关于现在学校方程的教学，从1978年的教学大纲开始，就将方程引进小学，打破了传统的小学只学习用算术方法解答应用题的观念，并且尝到列方程解应用题的优点。这是因为算术方法解答应用题，所求的未知数不能够参与运算，必须“执因索果”或者“执果索因”逐步地分析、推理，然后才能列式计算出所求的未知数，数量关系越复杂，分析的难度越高。而列方程解应用题的优越性是将未知数当作已知数参与运算，大大降低了分析的难度，显然比算术解法先进。小学生进入中学以后，绝大部分应用题都用方程的解法，算术方法解答应用题将被自然淘汰。

因此，在儿童早期引进列方程解应用题的概念是时代的必然。当然，列方程解应用题需要具备一些简单的分析、推理能力，掌握一些常见的数量关系，诸如时间、速度、距离；单价、数量、总价；工作效率、工作时间、工作总量等。这些概念其实是我们生活当中非常普遍的现象，只是我们不习惯用这些术语来称呼，结果造成孩子在理解这些概念时候的困难，这就需要在孩子小的时候家长经常对孩子使用这些术语和概念，为列方程解应用题打一些必要的基础。

韦达是一位卓越的代数学家，只要了解到他把代数学和三角学应用于几何学这一点，对此就没有人会产生怀疑。他对古代的三个著名问题也有贡献：证明三等分角问题和倍立方体问题都依赖于解三次方程。他曾在复原阿波洛尼乌斯失传的著作《相切》上，做了不少努力。

再伟大的科学家也有失误，尤其在不属于他们潜心研究的领域更容易发生这种令人痛惜的情景，这在我们今天也是如此。1594年，韦达由于他在关于格雷哥里的历法改革上与克拉维乌斯大肆争吵，名声败坏。韦达在这件事上的态度是十足地非科学的。

十六世纪的其他数学家

为了孩子，如果你还想知道16世纪数学更多一点的情况，下面这些简要的回顾多少可以提供一些帮助。

要评价16世纪的数学，如果不把别的有些代表性的贡献者简单地介绍一下，那就不完全了。他们是：数学家克拉维乌斯，卡塔耳迪和斯蒂文，以及数学天文学家哥白尼、雷提库斯和彼提库斯。

克拉维乌斯1537年出生于德国班贝格，1612年死于罗马。他在数学上的贡献不多，但是，也许在繁荣数学这门学科上，他做的工作超过那个世纪的任何其他德国学者。他是一位有才能的教师，并且写出了高水平的算术和代数课本。1574年，他发表了欧几里得《原本》的一种版本，此书以其广博的例证著称。他还写了关于三角学和天文学的著作，在格雷哥里历法改革中起重要的作用。作为一个耶稣会修士，他为该会增添了声誉。

卡塔尔迪，1548年出生于波洛尼亚，在佛罗伦萨、佩鲁贾、波洛尼亚教数学和天文学，1626年死于他出生的城市。他写了许多数学著作，其中有：一本算术、一本关于完全数的论著；欧几里得《原本》前六卷的一种版本；关于代数的一篇短论文。在连分数的理论上所采取的最初步骤，该归功于他。

16世纪，在低地国家中的最有影响的数学家是斯蒂文。他曾是荷兰军队的军需总监，并且领导许多公共建筑工程。在数学史中，他是十进制分数理论的最早阐述者之一。在他那个时代的学者们中间，他以其关于防御工事和军事工程的著作而著称。他发明了用帆的四轮车，使他在当时的人们中间享有盛名，用这种车载上28个人沿着海岸行驶，轻而易举地胜过了一匹奔驰的马。

天文学长期以来一直在促进数学的发展。事实上，有一个很长的时期“数学家”的称号指的就是天文学家。在鼓励、支持发展数学的天文学家中，最著名的是波兰的哥白尼。他曾在克拉科夫大学学习，还在帕多瓦和波洛尼亚学过法律、医学和天文学。他的宇宙理论完成于1530年，但是直到1543年去世时才发表。哥白尼为了从事他的研究，需要改进三角学，并且他自己写了一篇关于三角学的论文。

雷提库斯是哥白尼的学生，是16世纪的第一流的条顿族数学天文学家。他雇用了一批计算人员，花了十二年工夫编制了两个著名的、至今尚有用的三角函数表。雷提库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一人。由于雷提库斯的要求，哥白尼临死之前戏剧性地发表了他的巨著。

雷提库斯的正弦表是在1593年由彼提库斯编辑和修订的。后者是一位偏爱数学的德国牧师，他写的关于三角学的论著是第一部以“三角学”为标题的著作。

总结16世纪的数学成就，我们能说：符号代数学有了一个良好的开端；普遍使用阿拉伯数字使得计算变得标准化了；十进位小数有了发展；三次和四次方程得到解决；方程论一般地取得进展；负数被接受；三角学更加完善和系统化；计算出一些优秀的数表。这一时期为下世纪数学的阔步前进创造了条件，我们说，数学简要进入变量数学的时代。

顺便还应该提到的是美洲出版的第一部关于数学的书，这本书于1556年在墨西哥城出版，是迪兹编的《商用小手册》。在这之前，从文献资料来看，他们一直没有什么值得提起的数学建树。

数学史上的一段公案

孩子到了初中阶段就要学习一元多次方程的有关内容，比如一元三次方程的代数解法。所以，你可以告诉孩子，她那个时候将要开始学习的是16世纪最壮观的数学成就。数学史家一般都认为16世纪最壮观的数学成就是意大利数学家们发现的三次和四次方程的代数解法。

关于三次方程的解法，大家津津乐道的还有一段未了的公案。华人教育网上关于初中数学第三册第十二章里讲述了这段趣闻，为了照顾那些对数学不太感兴趣的读者，我略去了里面提到的公式和解题过程。下面就是改动后的故事：

中世纪的欧洲，代数学的发展几乎处于停滞的状态，其真正的起步，始于公元1535年的一场震动数学界的论战。

大家知道，尽管在古代的巴比伦或古代的中国，都已掌握了某些类型一元二次方程的解法。但一元二次方程的公式解法，却是由中亚数学家花拉子模于公元825年给出的。花拉子模是把二次方程配方后，得出了方程的两个根。

在欧洲，被誉为“代数学鼻祖”的古希腊的丢番图，虽然也曾得到过类似的式子，但由于丢番图认定只有根式下的数是一个完全平方数，且根为正数时，方程才算有解，因而数学史上都认为花拉子模为求得一元二次方程一般解的第一人。

花拉子模之后，许多数学家都致力于三次方程公式解的探求，但在数百年漫漫的历史长河中，除了取得个别方程的特解外，都没有人取得实质性进展，许多人因此怀疑这样的公式解根本不存在！

话说当时意大利的波伦亚大学，有一位叫费洛的数学教授，也潜心于三次方程公式解这一当时世界难题的研究，功夫不负有心人，他终于取得了重大突破。公元1505年，费洛宣布自己已经找到了三次方程的一个特别情形的解法，但他没有公开自己的成果，为的是能在一次国际性的数学竞赛中一放光彩。遗憾的是，费洛没能等到一个显示自己的才华的机会就抱恨逝去，临死前他把自己的方法传给了得意门生、威尼斯的佛罗雷都斯。

现在话转另外一头，在意大利北部的布里西亚，有一个颇有名气的年轻人，叫塔塔里亚，此人从小天资聪明，勤奋好学，在数学方面表现出超人的才华，尤其是他发表的一些论文，思路奇特，见地高远，因而一时间名闻遐迩。

塔塔里亚自学成才自然受到了当时一些习惯势力的歧视，公元1530年，当时布里西亚的一些人公开向塔塔里亚发难，提出以下两道具有挑战性的问题：

1.求一个数，其立方加上平方的3倍等于5；

2.求三个数，其中第二个数比第一个数大2，第三个数又比第二个数大2，它们的积为1000。

以上是两道三次方程的求解问题，塔塔里亚求出了这两道方程的实根，从而赢得了这场挑战，并为此名声大震！

消息传到了波伦亚，费洛的门生佛罗雷都斯心中顿感震怒，他根本无法容忍一个不登大雅之堂的小人物与他平起平坐！于是双方商定，在1535年2月22日，于意大利的米兰，公开举行数学竞赛，各出30道问题，在两小时内决定胜负。

赛期渐近，塔塔里亚因自己毕竟是自学出身而感到有些紧张。他想：佛罗雷都斯是费洛的得意弟子，难保他不会拿解三次方程来对付自己，那么自己所掌握的一类方法与费洛的解法究竟相距多远呢？他苦苦思索着，脑海中的思路不断进行着各种新的组合，这些新的组合终于撞击出灵感的火花，在临赛前八天，塔塔里亚终于找到了解三次方程的新方法，为此他欣喜若狂，并充分利用剩下的八天时间，一面熟练自己的新方法，一面精心构造了30道只有运用新方法才能解出的问题。

2月22日那天，米兰的大教堂内，人头攒动，热闹非凡，大家翘首等待着竞赛的到来。比赛开始了，双方所出的30道题都是令人眩目的三次方程问题，但见塔塔里亚从容不迫，运笔如飞，在不到两小时的时间内，解完了佛罗雷都斯的全部问题。与此同时，佛罗雷都斯却提笔拈纸，望题兴叹，一筹莫展，终于以0：30败下阵来。

消息传出，数学界为之震动，在米兰市有一个人坐不住了，他就是当时驰名欧洲的医生卡当。 卡当其人， 不仅医术颇高， 而且精于数学， 他也潜心于三次方程的解法，但毫无所获。所以，听到塔塔里亚已经掌握三次方程的解法时，满心希望能分享这一成果。然而当时的塔塔里亚已经誉满欧洲， 所以他并不打算把自己的成果立即发表， 而醉心于完成《几何原本》的巨型译作。对众多的求教者，一概拒之门外。

当过医生的卡当，熟谙心理学的要领，软缠硬磨，终于使自己成了唯一的例外。公元1539年，塔塔利亚终于同意把秘诀传授给他，但有一个条件，就是要严守发现的秘密。然而卡当实际上没有遵守这一诺言。

公元1545年，他用自己的名字发表了《大法》一书，书中介绍了不完全三次方程的解法，并写道：

“大约30年前，波伦亚的费洛就发现了这一法则，并传授给威尼斯的佛罗雷都斯，后者曾与塔塔里亚进行过数学竞赛，塔塔里亚也发现了这一方法。在我的恳求下，塔塔里亚把方法告诉了我，但没有给出证明。借助于此，我找到了若干证明，因其十分困难，特叙述如下。 ”

这就是今天我们所说的卡当公式。

《大法》发表第二年，塔塔里亚发表了《种种疑问及发明》一文，谴责卡当背信弃义，并要求在米兰与卡当公开竞赛，一决雌雄。然而到比赛那一天，出阵的并非卡当本人，而是他的天才学生斐拉里，此时的斐拉里，风华正茂，思维敏捷，他不仅掌握了解三次方程的全部要领，而且发现了一般四次方程的极为巧妙的解法。塔塔里亚自然不是他的对手，终于狼狈败退，并因此番挫折，心神俱伤，于公元1557年溘然与世长辞！

没想到，正是这场震动数学界的论战，使沉沦了1300多年的欧洲代数学，揭开了划时代的一页！这段公案，如果碰到一个讲故事的高手一定会被说得惊心动魄，惭愧的是，我没有这个本事。

此外，1572年，卡尔达诺死前几年，邦别利发表了一本代数学，对三次方程的解法作了重大贡献。邦别利指出，在不可约情况中，事实上存在明显的虚根。

孩子的自信与西方最早印刷的算术书

自从《孩子是管出来的》这本书出版之后，因为我是那本书的译著者，很多家长就通过邮件向我提出这样的问题：如何培养孩子的学习兴趣。我的回答只有一个词儿——自信。

看到这里你一定又会问，孩子的自信怎么培养？

这个问题如果让儿童教育学家来回答将会很麻烦，我用的方法很简单，但对于我女儿却很有效，不过在告诉大家这个方法之前，我们还是不要脱离这本书依循的数学史这个线索。

据考证，最早印刷的算术书是无名氏写的，现在很少见到的《特雷维索算术》，在1478年出版于特雷维索城。这座城市位于连结威尼斯与北部的通商路线上。这部书的内容多半是一种商业算术，即解释数字写法、数的计算及其在合股和换货上的应用。和14世纪的较早的“算法”一样，它也包括一些数学游戏。这是西方世界第一部印刷的数学书。

博尔吉写的商业算术书在意大利的影响比《特雷维索算术》大得多。这部用处很大的著作，1484年出版于威尼斯，至少出了十七版，最后一版是1557年出的。1491年在佛罗伦萨出版了一部不太重要的算术书，我们之所以这里提到它，是由于：我们现在用的长除法第一次印在书上，同时它又是意大利出版的第一批有插图的书。

在德国最有影响的是1489年在莱比锡出版的维德曼的算术书。另一部重要的德国算术是海德尔堡的计算家克贝耳写的，于1514年出版。这部算术书至少出了二十二版，从这一事实即可看出这本书普及的程度。但是，也许最有影响的德国商业算术书还是里泽在1522年出版的。

关于里泽，有一个有趣的传说。一天，里泽和一名绘图员参加友谊比赛，看谁在一分钟内能用圆规和直尺画出更多的直角。绘图员画一条直线，然后，采用在中学时老师教的标准作图法，在该直线上作垂线。里泽在一条直线上作一半圆，然后很快作出大量内接直角。他轻而易举地在竞赛中获胜。

这是一个很有意思的游戏式比赛，我有时候就愿意和孩子一块玩这类游戏。这类游戏可以培养孩子对几何的浓厚兴趣，也能让孩子知道，解决问题并不是只有一种方法。有一次，我还发现女儿和来我家里玩的小朋友玩看谁画直角画得快这个游戏，当然，她每次都赢，这极大地增加了她对几何学习的自信。这就是我培养孩子自信的一种方法。

自信非常重要。如果一个学生对于自己所学习的课程没有一点自信，这门课程基本上就没有什么指望。所以，家长一定要让自己的孩子掌握一些 “独门功夫” ， 让她在一些场合能够胜出， 这不是什么 “争强好胜”的问题，这是使孩子保持自信的一种手段。只有孩子抱有一定的自信，他才能够获得相关的兴趣。

同时期，英国也出版了一些值得注意的早期算术书。英国的第一部专讲数学的著作是汤斯托耳写的《算术》。 这部书以帕奇欧里的《摘要》为基础，出版于1522年，是用拉丁文写的。汤斯托耳在他多变的一生中，担任过基督教的和外交方面的许多职务。

但是，16世纪的最有影响的英国课本作者是雷科德。雷科德的著作是用英文写的，采取教师和学生对话的形式。他至少写了五本书，第一本有一个富于想像力的标题《技艺的根据》，大约发表于1542年。这部书至少出了二十九版。雷科德就学于牛津，然后在剑桥获得医学学位。离开剑桥后，担任爱德华六世和玛丽皇后的医师。晚年，他任爱尔兰矿山和铸币厂的总监。很遗憾，他的最后几年是在监狱里度过的，这可能是由于他在爱尔兰工作中的某种过失。

让孩子知道符号也有“系统”

你的孩子知道“等号”是怎么来的吗？

雷科德除了写算术书外，还写过一本天文学、一本几何学、一本代数学和一本关于医学的书，也许还有一些现已失传了的其他著作。关于天文学的书，出版于1551年，称为《知识的城堡》，是把哥白尼体系介绍给英国读者的最早著作之一。

雷科德的几何学《知识的捷径》也出版于1551年，其内容为欧几里得《原本》的节略。

具有历史意义的是雷科德的代数学，题名为《智力的磨石》1557年出版，在这本书中，首次使用了我们现代的等号。雷科德对于用一对等长的平行线段作为等号是这样解释的：再也没有别的两件东西比它们更相等了。所以，现在数学中等号的广泛使用是在16世纪。

不知道你有没有听说过数学科学里有一门叫“符号学”的数学分支。我不知道在中国是不是有，但在西方国家的有些大学里确实开设这门课程。我在前面曾经说过，一门科学必须具有一套自己的符号系统，至少，让孩子知道一些符号的由来可以使孩子获得的知识具有立体感。

另一个现代的代数符号是大家熟悉的根号，它是鲁道夫1525年在他的题为《求根术》的代数书中引进的。这本书在德国影响很大；施蒂费尔于1553年又发表了这部著作的修订本。施蒂费尔曾被认为是16世纪最伟大的德国代数学家。他最著名的数学著作是1544年出版的《综合算术》这本书包括三部分，分别讲有理数、无理数和代数。

在第一部分中，施蒂费尔指出把算术级数和几何级数相联系的好处，从而预示了近100年后对数的发明。他还在这部分中给出直至十七次的二项式系数。

这部书的第二部分实质上是欧几里得《原本》第十卷的代数表示。

第三部分讨论方程。不过，方程的负根被丢弃。