化繁为简是重要的数学方法

“邮票。”

当我随手拿起桌子上的一封信指着信封上贴的那张小画片问女儿的时候，她不加思索地回答我。

“那我问你，邮票上面经常画些什么？”

“伟大的人物、风景，嗯——还有——”

“没关系”，看到孩子说不上来了，我安慰她，“所有这些你都不知道也没有关系。 ”

孩子脸上焦虑的表情马上松弛了下来，女儿老是这样，对于我的安慰非常乐于接受，并且学会了马上用一个微笑来鼓励我。

“不过——”

孩子的神经一下子又绷了起来。

“有一种邮票你必须记住。”

“那一种？”

“1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，尊崇世界上‘十个最重要的数学公式’。 每张邮票以显著位置标出一个特殊公式， 并配以例证， 还在其反面对该公式的重要性作简短说明。有一张邮票是显示耐普尔的对数发明的。 ”

“爸爸，我要看邮票。”女儿马上提出要求。

“对不起，爸爸没有那些邮票。”我接着说，“科学家们和数学家们见到他们的公式受到如此的尊重，一定会高兴；因为这些公式对人类发展的贡献，肯定比常出现在邮票上的国王和将军的功劳要大。”

“爸爸——”，女儿显然不太甘心，继续问“那您知道邮票上面都有什么公式吗？”

“有基本算式1+1=2；毕达哥拉斯关系式，阿基米德的杠杆定律，牛顿的万有引力定律，麦克斯韦的四个著名的电磁方程；波耳兹曼的气体方程，康斯坦丁·奇奥柯夫斯基的火箭方程；爱因斯坦的著名的质能方程，德布罗格利的革命性的物质波方程。”

“1+1=2，这也算伟大的公式？”

“当然是，这是一切数学的基础，也是一切物质的基础。”我觉得这样说显得很空洞，马上补充道：“你看，一个月亮加上一个地球就构成一个行星系统，一个太阳加上一个地球就构成你看到的一切，是不是？”我反问道。

“是，还有我没有看到的许多东西——”

“小毛头真聪明。”孩子对我的夸奖非常得意。

“所以， 这里的1可以代表很多东西，这里的2也可以代表很多东西，只要你善于联想，用这么一个简单的公式你就可以表达非常丰富的内容。 ”

“这真的很简单！”女儿发出感叹。

“数学家的任务就是要把世界上看来复杂的东西弄得简单。”

“噢，我一直以为他们就是要把简单的东西弄复杂呢！”

孩子的看法没有错，我们的数学教学给孩子就是留下了这样的印象。我们希望孩子学好数学，可是，我们的做法的效果却恰恰相反。这不能不让人感到悲哀。

“数学最重要的思想之一就是化繁为简。”我想，我应该让孩子知道耐普尔了，“比如，无论你现在学的简便算法，还是你以后要学的解方程，或者对数的发明者、数学家耐普尔的伟大贡献，都是遵从化繁为简的数学思想。”

“耐普尔——怎么回事？”女儿一下子想起来我前面提到过这个名字。

“耐普尔是17世纪的一位伟大的数学家，他发明了对数，结果，他延长了许多天文学家的寿命。”

“他——是医生？”

“他是数学家。”

“那他怎么延长别人的寿命？”

“他通过研究发明了一种数学方法，使用这种方法可以使得人们在很短的时间内完成过去需要几十年才能完成的工作。”

“提高效率等于延长生命！

“非常正确！”我高兴极了。

“爸爸以前和我说过——”

我真的很高兴，孩子没有染上邀功的恶习。

“耐普尔出生时他父亲才16岁，他大部分时间生活于苏格兰首府爱丁堡附近的豪华的贵族庄园梅尔契斯顿堡中，并把大部分精力花在那个时代政治和宗教的论争以及数学上。耐普尔还预言将来会有许多种穷凶极恶的军事机械。他预言将来会造出一种枪炮，它能‘清除4英里圆周内所有超过1英尺高的活着的动物’；会生产‘在水下航行的机器’；并且，会创造一种战车， 它有‘一个栩栩如生的大嘴’， 它能‘毁灭前进路上的任何东西’。 在第一次世界大战期间， 他的这些理想实现了： 有了机关枪、 潜水艇和坦克。 ”

女儿听得津津有味。

“他引人注目的天才和想像力使得一些人认为他精神不正常，而另外一些人则认为他是一个妖术贩子。许多不一定有根据的传说，支持这些观点。譬如：有那么一次，他宣称他的黑毛公鸡能为他证实：他的哪一个仆人偷了他的东西。仆人们被一个接一个地派进暗室，要他们拍公鸡的背，仆人们不知道耐普尔用烟墨涂了公鸡的背。自觉有罪的那个仆人，怕挨着那公鸡，回来时手是干净的。”

“他是一个大侦探。”女儿兴奋地喊道。

“还有一次”，看到女儿这么感兴趣，我就继续讲：“耐普尔因他邻居的鸽子吃他的粮食而感到烦脑。他恫吓道：如果他邻居不限制鸽子，让它们乱飞，他就要没收这些鸽子。邻居认为自己的鸽子是根本不可能被捉住的，就告诉耐普尔，如果他能捉住它们，尽管捉好了。第二天，邻居看到自己的那些鸽子在耐普尔的草坪上蹒跚地走着，十分惊讶，耐普尔镇静自若地把它们装进一只大口袋。你知道是怎么回事吗？”

“不知道——嗯——”女儿想了想。

“因为，耐普尔在他的草坪上各处撒了些用白兰地酒泡过的豌豆，使这些鸽子醉了。 ”

“咯——咯——咯”女儿笑得前仰后合。

“好在耐普尔男爵没有经常做这些‘侦探’的活儿，否则，我们就失去了一位伟大的数学家。耐普尔更喜爱研究数学和科学，有四个成果被载入数学史。”

我抓起一张纸，写下这样四条，但除了对数，我不想做过多的解释：

1.对数的发现。

2.解直角球面三角形公式帮助记忆的方法，称为圆的部分的规划。

3.用于解非直角球面三角形的一组四个三角公式中的至少两个，也被称做耐普尔比拟。

4.所谓耐普尔尺的发明，它用于机械地进行数的乘法运算、除法运算和求数的平方根。

在耐普尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。耐普尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。

“对数怎么能使计算简便？”女儿对能“偷懒”的事情一向喜欢。

“让我们来看看下面这个例子。”我在纸上写下一串数字：

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14

然后，又在数字下面对应地写下另外一串数字：

1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2048，4096，8192，16384

“比如，计算64*256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，258对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有64*256=16384。”

“等等，那天思维训练课老师留的作业有一道题说的是：有一张纸厚0.01毫米，对折30次一共有多厚？比喜马拉雅山高多少？害得我算了半天，要是用对数查一下就好了，是不是？爸爸。老师也没说过有什么‘对数’呀。”

我不知道怎么回答孩子的问题，胡乱找了一个理由应付了过去。我主要还是想让孩子对对数这个概念有一些直观的了解，同时让她注意化繁为简的数学原则。

耐普尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”的方法，可以达到简化计算的目的。

恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、耐普尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：对数，可以缩短计算时间， “在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍” 。

正如我们今天所知道的，对数作为一种计算方法其优越性就在于：应用对数，乘法和除法被归结为简单的加法和减法运算。

“其实，最早使用对数概念的是中国，当时主要用在音乐理论中。《淮南子·天文训》写成于公元前200年左右，就把3的11次方，即177147称为‘十一三之’，也即3的11次幂。更早的《管子》在《地员篇》也有‘先主一而三次， 四开以合九九’，即1先用3去乘，连乘四次得九九之数，指数概念已很明确。很可惜，汉字的表意体系不太适合数学这种抽象系统的建立，我们的祖先醒来很早，然后躺下又睡了。”

“哎呀，真可惜！”女儿很爱国，如果什么事情我们落后了，她总是一副不甘心的样子。

现在，人们已经不常使用对数表了，计算器就可以轻而易举地取代它的地位，但是，对数函数的活力依然旺盛，理由是：对数和指数的变差，既是对数函数的关键部分，又是分析的关键部分。因此，对数函数及其逆函数（指数函数）的学习，仍然保留其在数学教育中的重要地位。而所有这一切又都是建立在对数的基础之上。不过，对于一个10岁的孩子来讲，目前讲这些还为时过早。对于这么大的孩子，对于对数有个大致的印象，已经相当不错，再往前走效果就适得其反了。

不管怎么说，我应该告一段落了，我的目的已经达到。于是，我说：“好了，小毛头，去洗澡吧。”

“好的——”孩子蹦蹦跳跳地跑走了。

不一会儿，伴随着哗哗的水声，卫生间里传来了孩子有节奏的一再重复地吟咏：“对数一耐普尔，耐普尔对数；对数一耐普尔，耐普尔对数……”