相对于结果，更应该让孩子知道原因
我们的孩子多数并不知道中国古代数学的历史为什么和它辉煌的文明不相称的原因。这不能不说是一个缺憾。
不言而喻，作为中国学生应该对中国数学的历史要多少有些了解。但是，由于一些特殊的原因，这样做非常不容易。
中国的数学在近代基督教传入之前几乎是一个完全独立发展的体系，很少能够找到中国数学和欧洲与西亚融合交流的痕迹，这让人感到遗憾。
在成吉思汗征服欧洲的时候，他们受到中原文化的影响，但是就数学来说，并不明显。在他们征服了黄河流域和长江流域成为中国的统治者而建立元朝之后，吸纳了中原文化的他们对于西边的欧洲失去了兴趣。
在这之前的几千年里，东西方的交流更多的是在贸易，丝绸之路上面来来往往的商队贩卖和驮运的商品里没有数学最高成果的地位，而地壳的变迁、喜马拉雅造山运动带来的气候变化也不断地加剧旅途的艰险。
就数学来讲，神秘的东方之国就这样的与世隔绝。我们的祖先也曾经创造了数学上的奇迹，在某些数学领域也早于西方和西亚数学家的贡献，遗憾的是，这些数学成就对于中国以外的国家贡献很小，相比之下，中国的四大发明火药、指南针、造纸与活版印刷这些更实用的东西对那些国家的影响要大得多。造纸与活版印刷使得西方国家的文明加快了在国民中间普及的速度，而火药和指南针加快了西方国家扩张的步伐，终有一天，西方人拿着我们的发明闯进了我们的家门。
在中国，数学的源流也像所有其他科学源流一样，在汇入近代科学这个海洋之前，中国在数学方面就已经取得了一些相当卓越的成就。在黄河流域比在世界上任何别的地方的人们更早地开始使用十进制记数法以及留出空位来表示零，十进制的度量衡制也随之一道发展。到了公元前1世纪，中国的工匠就使用十进制刻度的滑动卡尺来检验工件的精度了。
中国的数学思想总的来看始终是深刻的代数学思想，而不是几何学思想。在宋朝和元朝——公元12世纪至14世纪，中国学派在解方程方面居于世界的领先地位，因而以巴斯卡的名字所命名的那种三角形，公元1300年间在中国就已经为人们所熟知了。我们经常可以发现这类事例，我们称之为卡登悬置的联杆和枢轴环系统，在中国，早在卡登时代以前一千年就已普遍得到应用了。
在唐朝，为了官方在科举中使用，将最重要的一些数学书汇编成集，在8世纪开始付印。但是，就我们所知，直到1084年，才印出第一部。在王孝通于大约公元625年写的一部著作中，有中国数学中第一个比《九章算术》中更复杂的三次方程。
《九章算术》的一个重要版本，出版于宋朝的1115年。从宋朝末期到元朝初期，是中国古代数学有重大发展的时期。许多重要的数学家很活跃，出版了许多有价值的数学书。有这样一些数学家：秦九韶——他的书完成于1247年；李冶——他的书分别完成于1248年和1259年；杨辉——他的书分别完成于1261年和1275年，以及其中最卓越的朱世杰——他的书分别完成于1299年和1303年。
秦九韶把孙子遗留下来的不定方程又重新拾起。他还是为零规定了一个单独的符号“0”的第一个中国人，又是将求平方根的方法——如在推广到解高次方程，并导出我们今天称作霍纳 《九章算术》中给出的方法的求解代数方程的数值方法的数学家之一。我们如此称呼这种方法，是由于它被英国教师霍纳独立发现，并发表于1819年。他完全不知道，他是重新发现了一个古代中国的计算方法。对李治之所以有特殊的兴趣，是由于他为负数引进了一个符号：当在中国的算筹记数系中书写负数时，在右边的那个数字上斜着画一杠。
杨辉的一些著作是《九章算术》的某种扩展，他实质上用了我们现在的方法灵活地运算十进制的小数。杨辉还给出了所谓帕斯卡三角形最早的、保存至今的表示法，这在后来朱世杰于1303年写的一部著作中又出现了。朱世杰说该三角形在他那时代也是古已有之。看来，二项式定理，在中国也早就知道了。朱世杰的著作极其精彩地叙述了中国的算术——代数方法，这些方法一直流传至今。他采用现在人们熟悉的矩阵方法，并且他的消元法和代入法可与西尔维斯特的方法比美。
南宋时期继椟产生不少数学家，他们常为天文学家们服务，但是，他们在数学工作中基本上没有什么新东西。就像在唐朝初期，人们能发觉印度的影响那样，在元朝末期，人们能找到阿拉伯的痕迹。在古代中国数学中，很少见到希腊或拉丁的直接影响。只有明代数学，在基督教传教士进入中国后，西方的影响才渐渐显著起来。
在古希腊数学衰落之后，中国数学成为世界上最兴旺的数学之一。当西欧进入其黑暗时代时，中国数学在腾飞，其许多成就比后来欧洲在文艺复兴和文艺复兴之后取得的同样成就早得多。
我们至少应该让孩子知道下列几个成就都是中国首先取得的：
1.创造十进位置制。
2.承认负数。
3.得到π的精确值。
4.得到代数方程的数值解法（西方称之为霍纳方法）。
5.展现出贾宪算术三角形，西方称之为帕斯卡三角形。
6.熟悉二项式定理。
7.用矩阵方法解线性方程组。
8.用所谓中国剩余定理解齐次同余式组。
9.发展十进制分数，即小数。
10.三项法，即比例算法。
11.盈不足术，西方称之为双试位法。
12.展开高次算术级数，并把它们应用于插值。
13.画法几何。
中国数学上的许多发现，最终经由印度和阿拉伯传到欧洲。另一方面，在明朝基督教传教士进入中国之前，中国数学基本上没有受到西方的影响。意大利人利玛窦在徐光启的帮助下，把欧几里得《几何原本》的前六卷译成中文，这对中国数学家后来的发展起了重要作用。
欧阳绛和张良瑾在他们的学术札记中列举了19世纪以前的二十六部中国各个时期古代的数学著作。这基本上包含了中国古代数学的全部成就。
中国的数学，在西方传教士进入中国以前，只是一堆表面上自明的命题以及可以运用逻辑从它们导出的推论。虽然进步很大，成果丰富，有些成果还领先于同时代的其他国家的数学，但是却掩盖不了这样一个事实，成果之间缺乏联系，也就是说没有完整的体系，这使得进一步的发展变得困难。这很类似在欧几里得之前整个巴比伦和希腊的数学的情形，人们面对的是一个凌乱的库房，尽管里面的好东西很多，但是人们理不清它们的头绪，只是到了20世纪，我们的科学家们才在西方的现代数学体系框架下重新整理我们前人的数学遗产。
第四部分 让孩子学习东方数学的精髓
孩子从印度数学中能学到什么
“你还记得印度吗？”我试探着问，有些小心翼翼。
“记得。”女儿回答得干脆利落，似乎不明白为什么要问她这么低级的问题。
“印度在印度板块上面——而且——那里的蛇会跳舞。”不等我醒过神来，她已经是连珠炮一样的“开火了”。
“它挤出了一座喜马拉雅山脉还有青藏高原，最终切断了丝绸之路还造成了西北地区的干旱，还有——”急匆匆喘了一口气，她又接着说，“印度板块撞击欧亚板块之前走了2000多公里的路呢。”
“好，好，好！我知道了。”赶紧打断她，我还要给她介绍印度在整个中世纪期间的数学呢。
时隔大约一年之后，我再提到印度的时候，没有忘记向女儿提出关于板块理论的问题，借以考验在本书开始的那些部分里给女儿讲过的那些地球的故事是不是已经被她毫不客气地扔到遥远的太平洋里去了。
现在的家长知道逾迦的很多，可是对印度数学知之甚少，他们很少考虑孩子能从印度数学里学到什么东西。印度数学是个什么样子呢？说这些之前，我们有必要先看看横亘在我们之间的那座世界屋脊。
据地质学的调查，喜马拉雅上的抬升过程断断续续，有时候基本停滞，有时候异常活跃，在距今天1万年左右那段时间是最为活跃的时期，每年竟然会升高7厘米，假如一直按照这个速度，很容易想像，喜马拉雅山脉早就穿过对流层了，那时候的登山队员的穿戴将和宇航员的太空行走不会有太多的不同。看看今天的新疆和西藏的地图你就知道，那件事情没有发生，否则，就会有面积更大的沙漠摆在那里，即使这样，喜马拉雅造山运动依然，不但改变了大气环流从而改变了北面的气候，也改变了那个时候人们的交流。
这样看来，在远古人类的早期，印度与北面的中国和西面的波斯一定存在较多的联系，而且，甚至比与波斯的联系还要多一些。只是后来的某一段时期被中断了。比较语言学也支持这样的观点。
由于缺少可靠记录，对古代印度数学的发展知道得很少。我的女儿和其他孩子一样，对于印度的数学更是一无所知，在他们的记忆里顶多是一些能够随着音乐翩翩起舞的蛇，还有，就是知道那个神通广大的孙悟空一路护送唐僧取经要去的地方就是印度。
在莫恒卓达罗（位于今天巴基斯坦卡拉奇的东北）发现5000年前一座城市废墟上保存着印度最早的历史遗迹。种种迹象表明，它曾有过较宽的街道、砖房和有砖铺的洗澡间的公寓、布满城市的排水系统和公共游泳池。这说明，那里有着与古代埃及、巴比伦相类似的先进的文化。可以肯定的是，古印度时候的人有了书写、计算和度量衡的体系。
大约4000年前，不知道是气候的原因还是其他环境因素的变化，很多人从中亚细亚的大平原越过帕米尔高原进入印度。这些人被称做雅利安人，是从一个意为“贵族”或“土地所有者”的梵文字来的。他们当中的许多人留下来了，另一些人不知道循着哪一条路线，向西漫游到了欧洲。
雅利安人的影响慢慢地扩展到整个印度和现在的阿富汗和巴基斯坦。
在头一个千年中，他们完成了书写和口语的梵文。他们对种姓制度的引进也是起过作用的，尽管这个制度对于维系当时的统治发挥了不少的作用，但现在看来是那样地令人深恶痛绝。
在公元前6世纪，达里乌斯的波斯军队入侵印度，但没有造成长久的战乱，侵略者很快撤退了。随之而来的和平时期产生了两位伟大的印度学者：语法学家普宁宁和宗教领袖释迦牟尼。这也许就是“绳法经”产生的时代。它们是在数学史上有意义的宗教作品，你也可以这样认为，即使是侍奉上帝抑或佛祖也离不开数学。
绳法经在讲到设计祭坛时运用了几何法则，并且表明作者是熟悉毕氏三数的，只不过他们使用的工具不是古希腊的圆规和直尺，而是用一根长长的绳子，在祭坛的建筑工地上拉来拉去。
在亚历山大大帝于公元前326年暂时征服西北印度后，建立了莫尔雅帝国，并立即扩展到全印度以及中亚细亚的一些地区。最著名的莫尔雅统治者是乌索库，那是在公元前272-前232年， 他在当时印度的每一个重要城市立了大石柱，有些至今还在。我们对这些石柱很感兴趣，它们是现代数字符号保存下来的最早样本。
在乌索库之后，印度遭到一系列的侵略，直到笈多王朝，才处于印度本土皇帝的统治之下。笈多时代是梵文复兴的黄金时代；印度成了学术、艺术和医学研究、发展的中心。富有的城市兴起了，还建立起一些大学。重要的天文学著作《苏利耶历数全书》相传为太阳神苏利耶所著（意思是：太阳的知识），该书即成书于这个时期。
印度数学从这个时期才开始对天文学比对宗教更有用。
公元6世纪，乌贾因天文学家费腊哈米希拉的五卷本著作《历数全书》完成。它是以较早的《苏利耶历数全书》为基础的，其中，包括早期印度三角学的一个很好的概述，以及显然是从托勒密的弦表导出的正弦表。
坦白地说，古希腊、巴比伦和中国数学对印度数学的影响程度和反过来的影响程度，仍然说不清楚，但是，有充分的证据表明，这两方面的影响都是存在的。罗马帝国统治下的和平时期的重大好处之一是东西方之间的学术交流，并且从很早时代起，印度就既和西方也和远东交换使节。
大约在公元450年到14世纪末，印度又受到许多次外来的侵略。匈奴人先来闹了一阵，不久，在8世纪，阿拉伯人又来了；到11世纪，波斯人也不甘寂寞。
在这个时期，有几位著名的印度数学家。其中有：大小两个阿利耶波多，婆罗摩笈多，摩诃毗罗和婆什迦罗。这些名字对于我们来说，比记忆西方人的名字还要困难，好在这本书不是教材，也没有老师会出题来折磨你和你的孩子。
大阿利耶波多活跃于6世纪，出生在著名的恒河岸边离现在巴特那不远的地方。他写了一部称做《阿利耶波多书》的天文学著作，其中第三章讲的是数学。两个阿利耶波多常被混淆，也许他们的著作没有被正确地区分开。
婆罗摩笈多是7世纪最著名的印度数学家，他生活和工作于中印度的乌贾天文中心。在628年，他写了《婆罗摩笈多修订体系》。这是一部有二十一章的天文学著作，其中第十二章和第十八章讲的是数学。
摩诃毗罗来自南印度的迈索尔，他活跃于公元850年前后，并写过关于初等数学的书。婆什迦罗生活于费腊哈米希拉和婆罗摩笈多的家乡乌贾因。他的著作《天文系统极致》写于1150年，比早500多年的婆罗摩笈多的著作改进不大，这也说明那个500年左右的时间里印度的数学并没有取得多少进展，而且与外面的交流也不多。
《丽罗娃提》和《算法本源》是婆什迦罗著作的重要的数学部分，它们也许是两个独立的著作，是分别讲算术和代数的。
西方人在“民族主义”这个问题上显然要比东方国家开放一些，至少他们一直认为科学是属于全人类的，所以他们不断地把其他国家的各类著作，只要是他们认为有些价值，统统地翻译过去，而且并不认为有什么不好意思或者有其他什么羞辱的感觉。婆罗摩笈多和婆什迦罗著作的数学部分于1817年被科尔布鲁克译成英文。《苏利耶历数全书》于1860年被伯吉斯译出，摩诃毗罗的著作于1912年由让迦卡利阿翻译发表。
据说，古印度在计算加法时，是从高位算起，这与我们通常从低位算起恰恰相反。这似乎与古印度人的书写材料有关，他们既没有埃及人的纸草，也不善于利用巴比伦人的黏土板，他们可能是黑板最早的使用者，随擦随写，这给他们先从高位算起提供了方便，书写顺序和计算顺序一致对于我们来说是一种很独特的选择。
显然，不同地区人们的书写材料很自然地使用本地区最初最容易找到的材料，而书写材料的选择对于后世很多文化特征及其发展产生了巨大的影响。由此看来，纸张的发明有着不可小视的作用。在纸张被发明和广泛应用之前，印度人的计算工具是最廉价的，这肯定会对他们发展算术运算有好处，事实也是这样。
很少有人知道，现代初等算术运算方法的发展，起始于印度，可能在大约10世纪或11世纪，它很快就被阿拉伯人采用，后来传到西欧，在那里，它们被改造成现在的形式。这些工作受到15世纪欧洲算术家们的充分注意。
印度有不少有才华的算术家，并且对代数作过重大的贡献。我们对于印度算术的了解多半来自婆什迦罗的《丽罗娃提》。丽罗娃提不仅是一个书名，它还是一个人的名字，这个人就是婆什迦罗的女儿。据说司命星预言，如果婆什迦罗的女儿不在某一个吉利日子的某一个吉利时辰结婚， 不幸的命运就会降临。 到了那天， 正当新娘子等待着 “时刻杯”中的水平面下降到那个吉利时刻的时候，一颗没有镶嵌牢固的珍珠从她的头饰上掉下来，恰好堵在杯孔上，水不再流出了，因而幸福的时刻未被注意地悄悄溜走了。女儿为此伤心不已，为了安慰女儿，婆什迦罗以她的名字命名了这本书。由此可见，婆什迦罗不仅是一个不错的数学家，也还是一个不错的父亲。
印度数学另一种令人满意的方法是反演法，即从已知条件逐步往回推。例如，婆什迦罗在《丽罗娃提》中记录了这样一个问题：“带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我们在哪个地方除以10，我们就乘以10；在哪个地方加上8，我们就减去8；在哪个地方取平方根，我们就自乘。”他们的学校课本常常被写成诗，并且这类问题也常用于社交娱乐，这自然让人们想到，在社交场合的这种娱乐方式显然要比讲那些不伦不类的“段子”对一个民族来说更意义非凡。
因为对每一个运算都以其逆运算来代替，所以称为反演法，通过已知条件推算答案，这正是我们现代解此类问题所常用的方法。
印度人计算过算术级数和几何级数的和，解决过单利与复利、折扣以及合股之类的商业问题，说明印度在那个时期商业的形态多种多样。他们还解决过类似于现代课本中的“混合”和“水池”问题。
印度人很自然地接受了负数和无理数，并且知道具有实解的二次方程有两种形式的根。他们用熟悉的配方法统一了二次方程的代数解。这种方法在初中数学中经常使用。与西方的教育家不同，我们的老师似乎不太愿意告诉学生这种方法也叫做“印度方法”。
印度人在不定分析中显示出卓越的能力，也许是在数学的这个分支中首先提出一般方法的。不像丢番图那样，对一个不定方程只求随便一个有理解，印度人在这个问题上好像非常执着，致力于求所有可能的整数解。不过，印度人在不定方程上的工作，传到欧洲太迟了，以致对处于主流位置的西方数学没有产生什么重要的影响。
印度人对几何学并不精通，严格的证明也不常有，公理的体系是不存在的。他们的几何学多半是凭经验，并且一般是与测量有关，这很容易让人理解为与他们的宗教传统有关。
大多数在中学学过几何的学生已经见过毕氏定理的婆什迦罗剖分证明——少数老师不知道什么原因并没有把这种解题方法告诉学生——然而使用的是几何方法。
印度人和古希腊人一样，把三角学当作他们的天文学工具。他们用我们熟悉的度、分、秒划分法，并制作了弦表——是半弦表，而不是希腊人所作的弦表。
印度人采用正弦、余弦和正矢的等价概念。他们用关系式计算半角的正弦。在其天文学中，他们解平面的和球面的三角形。他们当时的天文学本身水平很低，在观察、收集、核对事实以及导出规律方面都很拙劣，他们的宗教似乎比较宽容，对于天体的运算并没有十分严格的要求。还有一点值得注意，印度人使用他们更为熟悉的算术方法来描述三角学问题，而不是从几何上来描述，可以想像，用抽象的方法比用形象的方法给人们造成的困惑更多。
印度数学在婆什迦罗之后确实倒退了，直到18世纪，才又有起色。1907年，印度数学学会成立，两年之后，印度数学学会杂志创刊于马德拉斯。
关于数学史的教科书在讨论到印度时，有一些矛盾和混乱。这也许在不小程度上由于印度学者们的著作比较晦涩，比较难懂。
在希腊和印度数学之间存在许多差别。首先，搞数学的印度人原来把他们自己当作天文学家， 这样， 印度数学多半只充当宗教和天文学的 “侍女”；而对于希腊人来说，数学则独立存在，并且是为了它本身而进行研究的。
其次，由于种姓制度，在印度，数学教育几乎全属于僧侣；在希腊，数学的大门对任何一个认真研究它的人都是敞开的。
还有，印度人是有造诣的计算家，却是拙劣的几何学者；希腊人在几何学方面十分出色， 而对计算工作不那么认真。 甚至印度三角学 （在这方面， 他们是有贡献的） 实质上也属于算术； 而希腊三角学则具有几何的性质。
印度人非常独特，他们用诗的形式来写作数学，并且他们的著作语言含糊而且神秘；希腊人则致力于表达的清楚和逻辑性。印度数学多半是经验的，很少给出证明和推导；希腊数学的突出特征是它坚持严格的证明。
印度数学缺乏选择性，高质量和低质量的数学往往同时出现；而希腊人看来具有区别高质量与低质量以及保持前者、抛弃后者的天性。正如穆斯林著作家阿尔·比鲁尼在其名著《印度》中说的，与普遍高质量的希腊数学相反，印度数学是：“珍珠和酸枣的混合”。
希腊数学与印度数学之间的差异，今天仍存在于我们的初等几何和代数课本中；前者是演绎的，后者则常是规则的汇集。
