孩子从哪儿获得解题思路
任何一个受过正规初等教育的人都知道阿基米德这个名字。我们的孩子自然也应该知道，知道得越早越好。后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和英国的牛顿、德国的高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。与其贡献不太相配的是，他的生平没有详细记载，但关于他的许多故事却广为流传。
阿基米德，古希腊伟大的数学家、力学家。生于地中海西西里岛的叙拉古，卒于同地。早年在当时的文化中心亚历山大跟随欧几里得的学生学习，以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。据说他确立了力学的杠杆定律之后，曾发出豪言壮语：“给我一个支点，我就可以翘动地球！”
孩子学习数学有困难，很多情况下是由于思路不够开阔。我们说那个孩子特别聪明的时候，多数情况下是在称赞孩子那不寻常的思路。所以，开阔孩子的思路是孩子学好数学的一条必须要走的路。但是，如果你仔细分析，我们今天所赞赏的那些聪明孩子的思路并不新鲜，我们感到惊奇的倒是孩子从那里获得的这些思路。事实上，这些思路百分之九十九都是通过学习获得的，只有很少一部分是灵光乍现的结果。
我们可以分析一下那些优秀教师课堂上的教学方法。他们会先讲一段非常精彩的故事，在从这个故事的分析中总结、抽象出一个思路，然后，用这个思路来求解一些例题，随后通过练习来巩固学生的学习和提高熟练程度，接着会再来一些这类题的变形，再通过练习使学生能够举一反三，最后再归纳总结一遍。这是一个比较完整的过程。
简单说吧，这个过程就是：故事、抽象出思路、示范解题、练习、变形、再练习、总结。一共七步，缺一不可。我们孩子现在的问题是，他们很少获得故事开头的数学教学，而大量的教学实践说明，即使是在大学里，学生对于那些伴随着精彩故事的学习总是最受欢迎。我在北京大学做访问学者的时候，著名经济学家肖灼基是我的导师，两年的学习里，没有一节课是没有故事的，而他还不是最会讲故事的。
在我给女儿讲用间接法求解难题时，我就曾经给她讲过阿基米德的一个故事。故事说的是，叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一顶纯金的皇冠，因怀疑里面掺有银子，便请阿基米德鉴定一下，由于没有相应的仪器，阿基米德很发愁。当他进入浴盆洗澡时，水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中，口中大呼：“尤里卡！尤里卡！”（希腊语意思是“我找到了”）他将这一流体静力学的基本原理，即物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量总结在他的名著《论浮体》中，后来以“阿基米德原理”著称于世。
从某种角度来说，孩子们所学习的数学没有一个地方没有故事，这些故事不仅使得数学学习由枯燥变得生动有趣，而且，这些故事本身还包含数学家解题的独特思路，也正是这些独特的思路，使得他们解决了前人和同时代的其他人所没有解决的问题。
传说在阿基米德晚年，在叙拉古与它的盟国罗马共和国分裂后，罗马派了一支舰队来围城。当时阿基米德负责城防工作，他设计制造了一些灵巧的机械来摧毁敌人的舰队。他用投火器将燃烧的东西弹出去烧敌人的船舰，用一些起重机械把敌人的船只吊起掀翻，以至后来罗马人甚至不敢过分靠近城墙，只要看见城墙出现像绳子之类的玩意儿，就吓得赶快逃跑。然而三年以后，即在公元前212年，该城还是被攻陷了。
据说罗马兵入城时，统帅马塞拉斯出于敬佩阿基米德的才能，曾下令不准伤害这位贤能。而阿基米德似乎并不知道城池已破，又重新沉迷于数学的深思之中。一个罗马士兵突然出现在他面前，命令他到马塞拉斯那里去，遭到阿基米德的严词拒绝，于是阿基米德不幸死在了这个士兵的刀剑之下。
另一种说法是：罗马士兵闯入阿基米德的住宅，看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵将图踩坏，阿基米德怒斥士兵：“不要弄坏我的圆！”士兵拔出短剑，这位旷世绝伦的大科学家，竟如此不幸地在愚昧无知的罗马士兵手下丧生。统率马塞拉斯对于阿基米德的死深感悲痛。他将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决，并为阿基米德修了一座陵墓，在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿，刻上了“圆柱容球”这一几何图形——一个有内切球体的圆柱体图案。
随着时间的流逝，阿基米德的陵墓被荒草湮没了。后来，西西里岛的会计官、政治家、哲学家西塞罗（公元前106-前43年）游历叙拉古时，在荒草丛中发现了一块刻有圆柱容球图形的墓碑，依此辨认出这就是阿基米德的坟墓，并将它重新修复了。
阿基米德为什么希望在自己的墓碑上刻上圆柱容球的图形呢？这是因为，阿基米德在他的许许多多的科学发现当中，以圆柱容球定理最为得意。《论球与圆柱》，这是他的得意杰作，包括许多重大的成就。他从几个定义和公理出发，推出关于球与圆柱面积、体积等50多个命题。
《平面图形的平衡或其重心》，从几个基本假设出发，用严格的几何方法论证力学的原理，求出若干平面图形的重心。
《数沙者》，设计一种可以表示任何大数目的方法，纠正有的人认为沙子是不可数的，即使是可数也无法用算术符号表示的错误看法。
《论浮体》，讨论物体的浮力，研究了旋转抛物体在流体中的稳定性。阿基米德还提出过一个 “群牛问题” ， 含有八个未知数。 最后归结为一个二次不定方程。其解的数字大得惊人，共有20多万位！阿基米德当时是否已解出来倒是值得怀疑。
阿基米德将欧几里得提出的趋近观念作了有效的运用，他提出圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由内、一个由外地趋近于圆周长。他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形， 求出π的估计值介于3.14163和3.14286之间。
除此以外，还有一篇非常重要的著作，是一封给埃拉托斯色尼的信，内容是探讨解决力学问题的方法。这是1906年丹麦语言学家海贝格在土耳其伊斯坦布尔发现的一卷羊皮纸手稿，原先写有希腊文，后来被擦去，重新写上宗教的文字。幸好原先的字迹没有擦干净，经过仔细辨认，证实是阿基米德的著作。后来以《阿基米德方法》为名刊行于世。在数学史方面，阿基米德方法是最为惊人的发现。
《阿基米德方法》主要讲根据力学原理去发现问题的方法。他把一块面积或体积看成是有重量的东西，分成许多非常小的长条或薄片，然后用已知面积或体积去平衡这些 “元素” ， 找到了重心和支点， 所求的面积或体积就可以用杠杆定律计算出来。他把这种方法看作是严格证明前的一种试探性工作，得到结果以后，还要用归谬法去证明它。他用这种方法取得了大量辉煌的成果。
阿基米德的方法已经具有近代积分的思想。然而他没有说明这种“元素” 是有限多还是无限多， 也没有摆脱对几何的依赖，更没有使用极限方法。尽管如此，他的思想是具有划时代意义的，无愧为近代积分学的先驱。
他还有许多其他的发明，没有一个古代的科学家像阿基米德那样将熟练的计算技巧和严格证明融为一体，将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合起来。
在他的研究中，先假设，再以严谨的逻辑推论得到结果，他不断地寻求一般性的原则而用于特殊的工程上。他的作品始终融合数学和物理，因此阿基米德也成为物理学之父。
《阿基米德方法》的中心思想是：要计算一个未知量，先将它分成许许多多的微小量，再用另一组微小量来和它比较——通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡——而后者的总体该是较易计算的。 你可以把它叫做 “天平方法” 。 于是通过比较， 即可求出未知量来。这实质上就是积分法的基本思想。阿基米德的睿智，业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了。阿基米德运用这种富有启发性的方法，获得大量的辉煌成果，为后人开辟了一个广阔的领域。
历史上有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏慎密的推理；有的数学家偏重于逻辑证明，而对新领域的开拓却徘徊不前。阿基米德则兼有二者之长，他常常通过实践直观地洞察到事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论（如浮力问题）再用理论去指导实际工作（如发明机械）。没有一位古代的科学家，像阿基米德那样将熟练的计算技巧和严格证明融为一体，将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合在一起。对于家长的意义，阿基米德方法是使孩子获得解题思路最为适宜的方法之一。