具有极好数学素质的莱布尼兹
与其他数学家相比，莱布尼兹更像一个天才。
回顾莱布尼兹的生平，可以帮助那些对天才更加关注的家长寻找一个坐标，帮助他们辨别一下自己的孩子是不是具备一些独特的天赋。
莱布尼兹，是17世纪伟大的数学全才，在微积分的发明上是牛顿的竞争者，于1646年出生于莱比锡城。当还是儿童的时候，就自学拉丁文和希腊文，不到二十岁，就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。
青年时代，他开始发展他的《万能算法》的最初概念，它涉及通用数学；后来，发展出布尔的符号逻辑；再靠后些，1910年，发展出怀特黑德和罗素的伟大的《数学原理》。
当莱比锡大学以他年轻为借口，拒绝授予他法学博士学位时，他迁到纽伦堡。在那里，他写了一篇关于用历史的方法教授法学的杰出论文，并且，把它献给美因茨的选帝候。这导致选帝候任命他重修一些法典。从这时起，他把大部分时间用于外事活动，这首先是为了美因茨选帝候；从1676年直到他死，是为汉诺威的布龙斯威克公爵服务。
1672年，莱布尼兹在巴黎搞外事工作时遇见定居在那里的惠更斯，这位年青的外交官请这位科学家给他讲数学。第二年，莱布尼兹因政治任务被派去伦敦。在那里，他结识了奥尔登伯格和其他人，并且，向皇家学会展示了一部计算机。在离开巴黎，去给布龙斯威克公爵当待遇优厚的图书馆长之前，他已经发现微积分的基本原理。他还给出此学科中的大部分符号，并且给出一些微积分的基本公式。
最后，莱布尼兹又被派到汉诺威工作，使他有空闲时间探讨他喜爱的研究。结果是，与许多人处理闲暇的方式不同，他写下的关于各种课题的论文几乎堆成了山。
他是一位特殊天才的外语通，赢得了梵文学者的称号。他关于哲学的著作也在该邻域中有很高的地位。他制定了许多宏伟的宗教计划，比如，想把耶稣教和天主教联合起来，后来，又想把他那个时候的耶稣教的两个教派联合起来，但都落空了。
1682年，他和门克创办了《博学文摘》，并且，他当了该杂志的主编。他的大部分数学论文——1682年至1692年这十年中写下的，发表在这本杂志上。杂志在欧洲大陆得到广泛流传。1700年，莱布尼兹创办了柏林科学院，并且致力于在德累斯顿、维也纳和圣彼得堡创办类似的科学院。
莱布尼兹生命的最后七年，是在他是否独立于牛顿发明了微积分的争论中难受地度过的。1714年，他的东家成了英国的第一个德国人国王，莱布尼兹因被遗忘而留在汉诺威。据说两年之后，1716年他死后，只有他忠实的秘书参加他的葬礼。
莱布尼兹对其《万能算法》的研究，导出数理逻辑的理论和具有形式规则的符号法，用以避免思考的必要性。虽然这个设想，只是到今天才达到了令人注目的阶段，但是，莱布尼兹已经用通行的术语陈述了逻辑的加法、乘法和否定的主要性质，已经考虑到空集和集的包含关系，并且，已经指出在集的包含关系和命题的蕴含关系之间的类似性。
莱布尼兹是在1673年到1676年之间发明他的微积分的。直到1684年，才发表了他的关于微积分的第一篇论文。
在我们的初等微积分课中的微分的许多基本原则，是莱布尼兹推出的。求两个函数乘积的n阶导数的法则现在还称作莱布尼兹法则。
莱布尼兹对数学形式有超人的直觉，并且对于很好地设计符号的潜在可能性很敏感。他的微积分符号已被证明是很好的，并且无疑，比牛顿的流数记号方便、灵活。所以，我们的孩子今天使用的由莱布尼兹创立的符号要比牛顿的多。
通常说， 行列式理论是莱布尼兹于1693年考虑关于齐次线性方程组的形式时创造的，虽然，日本人关孝和比他早十年就有了类似的考虑。把二项式定理推广到多项式定理，起源于莱布尼兹。他还为包络理论奠基作了许多工作，并且他定义了密切圆，说明了它在曲线研究中的重要性。
我们不谁备在这里过多讨论牛顿和莱布尼兹之间的争论。今天，普遍的意见是，他们彼此独立地发现了微积分。牛顿发现在先，而莱布尼兹发表得早。如果说莱布尼兹没有像牛顿那样对数学研究得深，他的知识面却较牛顿为广，并且，作为一个分析学家和数学物理学家，他虽都次于他的英国的对手，但他对于数学形式有比较敏锐的想像力和卓越的本能。两派带给这两位主角的争论，导致英国长时间地忽视欧洲大陆数学的发展，这反而有害于英国的数学。
在牛顿和莱布尼兹之后的若干时间，积分的基础还是不清楚的，并且很少被人注意，因为早期研究者被此学科的显著的可应用性所吸引。到1700年，现在大学里学习的大部分微积分内容已经建立起来了，其中还包括较高等的内容，例如变分法。第一本微积分课本出版于1696年，是洛比达写的。他还依据神秘的协议，发表了他老师约翰·伯努利的讲义，在这本书中有求分子、分母均趋于零的分式的极限值的所谓洛比达规则。
莱布尼兹是一位根深蒂固的乐观主义者。他不仅希望把他那个时代的互相斗争的宗教派别重新统一为一个单一的全世界的教会，而且他认为他有办法用他在创造二进制算术时的灵感让整个中国信基督教。
莱布尼兹还有一个神学的谬论，他说：虚数就像基督教义里的圣灵，介于存在和不存在之间。
在结束对莱布尼兹的无与伦比的天才的赞美时，要记住给孩子指出这样一个事实：存在数学思想的两个广阔而又相反的领域：连续数学和离散数学，这在哲学上已经是一个极高的层面。莱布尼兹是数学史上在这两方面都达到了最高水平的人。（完）
牛顿也有前辈
显然，牛顿也有前辈。在学校，老师很少会告诉孩子这些。
牛顿在英国的直接前辈是沃利斯和巴罗。
我们先说沃利斯。
沃利斯出生于1616年，是当时最有能力、最有创造力的数学家之一，是一位在许多领域中多产而又博学的作者。据说他还是最先设计出一套教授聋哑人的方法的一个人。1649年，他被任命为牛津的萨魏里几何讲座教授，他保持这个职位54年，直到他逝世的1703年。他在分析方面的著作为他的伟大的同时代人牛顿开辟了道路。
沃利斯是最先把圆锥曲线当作二次曲线而不是作为圆锥的截线来讨论的人之一。1655年，他发表了《无穷的算术》。尽管这本书有一些逻辑上的缺陷，但在许多年中，它不失为一部标准论著。在这本书中，笛卡儿和卡瓦列利的方法被系统化和推广，并且从一些特殊情况推出了许多值得注意的结果。
沃利斯是最先完整地说明零指数、负指数和分数指数意义的人，他还引进了我们现在用的无穷大符号“∞”。
沃利斯在数学上还做了一些别的工作。他是最接近于解决帕斯卡关于旋转线的竞赛题的数学家。可以公平地说：他得到了计算曲线弧长的公式的等价物。他的《代数论著：纪事和实用》写于1673年，1685年以英文发表，1693年以拉丁文发表，被认为是英国数学史上第一次认真的尝试。在这部著作中，人们可以发现实二次方程复根的图解解释之最初的有记载的成果。沃利斯编辑过许多希腊数学家的部分著作，还写过许多种关于物理课题的东西。他是皇家学会的创始人之一，还在政府里担任了多年密码专家。
沃利斯对微积分发展的主要贡献是在积分理论方面，而巴罗最重要的贡献也许是与微分理论相联系的。
我们再说说巴罗。
伊萨克·巴罗1630年出生于伦敦。有个故事说，在他幼年上学时，很惹人讨厌，致使他的父亲祷告：要是上帝决定取走他的一个孩子，他宁愿抽出伊萨克。就是这样一个孩子后来在剑桥毕业，被尊为他那个时代的最好的希腊文学者之一。他有很高的学术水平，在数学、物理学、天文学和神学上都有成就。关于他的体力、勇敢、敏捷的智力和一丝不苟，有很多有趣的故事。他是担任剑桥的卢卡斯讲座教授的第一人，1669年以高尚的精神将此席位让给他的学生伊萨克·牛顿。他是最先认出牛顿的超人才能的人之一。他于1677年死于剑桥。
巴罗最重要的数学著作《光学和几何学讲义》发表于他在剑桥让出他的席位那年。在论著的序言中，感谢牛顿为该书提供了一些资料，也许指的是讲光学的那部分。在这本书中，我们见到很接近于现代微分方法的方法，用了我们今天课本中所谓的微分三角。
尽管别的证据不多，一般认为：巴罗是充分地认识到微分法为积分法的逆运算的第一人。这个重要的发现就是所谓微积分的基本定理，这是在巴罗的《讲义》中被陈述和证明的。
巴罗在1675年发表了阿波洛尼乌斯《圆锥曲线》前四卷及阿基米德同狄奥多修斯现今尚存的著作带注释的版本，虽然在他的晚年大部分精力用于神学。
在微分学和积分学发展的这个阶段，许多积分已经作出，许多求容积、面积和长度的方法已经得到，微分的程序已经推出，许多曲线的切线已经作出，极限的概念已经想到，并且，微积分基本定理也已被清楚地认识到。还有什么要做的呢？
作为一门独立的科学，微积分还需要创造一系列的符号以及一整套形式的解析规则，另外，还要对一些课题的基础理论作前后一致的严格的推导。这些工作是牛顿和莱布尼兹彼此独立地做出的。
上帝说：生出牛顿来，一切都变得明朗现在的孩子对于牛顿在物理学上的贡献了解的显然要比牛顿在数学上的贡献多得多。
牛顿生于1642年，即伽利略去世那年的圣诞节，出生于沃尔斯索普村。他的父亲是一个农民，在伊萨克出生前就死去了，而且死以前就计划让他的儿子也务农。
幼年的牛顿在设计灵巧的机械模型和做试验上，就显示出才能和爱好。例如，他做了一个以老鼠为动力磨面粉的磨和一架用水推动的木制的钟。十八岁时他被允许进入剑桥大学三一学院。由于他在斯托桥的集市上偶然碰到一本占星学的书，在他上学之前，一直没有把注意力放在数学上，因此，他先读欧几里得《原本》，在他看来是太显然的了；然后看笛卡儿的《几何》，对他来说，又有些困难。他还读奥特雷德的《入门》以及开普勒和韦达的著作、沃利斯的《无穷的算术》。他从读数学到研究数学，开始发现推广的二项式定理，并且创造其流数法——今天我们称之为微积分学。后来，从1665年夏末到1667年夏末，除了1666年3月中至6月中外，由于凶猛的鼠疫，剑桥大学停了课。
1665年，也就是剑桥大学停课的第一年，牛顿住在伍尔斯托普家中研究数学——过曲线上任意点作其切线和计算其曲率半径，并有兴趣于各种物理问题，比如，作他的第一个光学实验，并将其万有引力理论的基本原理系统化。
牛顿于1667年回到剑桥，有两年功夫主要从事于光学研究。1669年，巴罗把他的卢卡斯讲座让给牛顿，于是牛顿开始了他十八年的大学教授生活。他的第一个讲演是关于光学的，后来以一篇论文的形式由皇家学会发表，并引起相当大的兴趣和讨论。不过，他的颜色理论和从他的光学实验中作出的某些推论，受到一些科学家的猛烈攻击。
牛顿看到随之而来的争论很无聊，就发誓再也不发表任何关于科学的东西了。他对争论的厌恶简直到了病态的程度，这对数学史也产生重大影响，结果是几乎所有他的重大发现都在许多年后才发表。发表的推迟遭致后来引出了他与莱布尼兹在微积分发现的优先权上不体面的争论。就是由于这场争论，英国的数学家们公认牛顿为他们的导师，割断他们与欧洲大陆的联系，从而使英国的数学进展实际上推迟了将近100年。
牛顿继续研究光学。1675年，他把关于光的粒子说理论的论文寄给皇家学会。他的声誉和他对理论的巧妙处理使该理论得到普遍采用，直到许多年后波动说被证明是研究用得较好假定为止。
牛顿从1673年到1683年在大学的讲演是关于代数和方程论的。在这个时期中，1679年，他把对地球半径进行的一次新的测量与对月球运动的研究相联系，并用来证实他的万有引力定律。
他还假定太阳和行星为重质点，证明了他的万有引力定律与开普勒的行星运动定律的一致性。但是这些重要的发现，有五年之久，没有告诉任何人，是1684年哈雷到剑桥拜访牛顿，和他讨论使行星沿椭圆形轨道围绕太阳旋转的力的规律时，才讲出来。这重新激发了牛顿对天体力学方面的兴趣，他继续做出的许多这方面的论断后来成为他的《原理》第一册的基础。
稍迟些时，哈雷看了牛顿的原稿，认识到其极大的重要性，得到作者的允许后，哈雷把这些成果送给了皇家学会。牛顿从事这项工作的同时，终于解决了已经冥思苦想了好些年的问题，即：一个球体——其任何一点的密度依其与球心的距离而变化，吸引了一个外面的质点，就如同其全部质量集中在其中心一样。他以这个定理肯定了开普勒行星运动定律，因为，在行星运动问题中，太阳和行星与准确球体的微小偏差是可以忽略的。
牛顿以后认真地搞他的理论，并且以艰苦的脑力劳动，于1685年夏写下了《原理》的第一册。一年之后完成第二册，开始第三册。虎克妒嫉地指责使牛顿很不痛快，致使第三册几乎停写下来，但是哈雷最后说服牛顿完成了这项工作。这本书的标题为《自然哲学的数学原理》，于1687年中，由哈雷出资发表，这立即对整个欧洲产生了巨大影响。
1689年，牛顿代表大学进入议会。1692年他得了奇怪的病，持续了大约两年，致使他有些精神错乱。晚年，他主要从事化学、炼丹和神学的研究。其实，就在他早年从事数学和自然哲学的研究的同时，他也许就花了不少时间搞这些。虽然他在数学方面的创造性工作实际停止了，他还没有失去这方面的非凡的能力：他熟练地解决了提给他的很多数学竞赛题，而这些题是远远超过别的数学家的能力的。
1699年，牛顿被提升为造币厂厂长。1703年，他被选为皇家学会主席，一直连选连任到他死，并于1705年被封为爵士。
晚年，由于与莱布尼兹的不幸争论很不愉快。1727年，在一场拖了很长时间的痛苦的病后死去，终年八十四岁，安葬于伦敦威斯敏斯特教堂。
由于上面提到的原因，牛顿所有发表的重要著作，除《原理》外，都是在作者发现其内容好几年后才发表的，而且，几乎都是由于朋友们的催促才发表的。 这些著作依发表的次序排为：《原理》，1687；《光学》，连同其关于三次曲线和用无穷级数解决曲线的求积及求长两个附录，1704年；《通用算术》，1707年；《运用级数、流数法等的分析学和微分法》，1711；《光学讲义》，1729年；《流数法和无穷级数》，1736年。
还应该提到牛顿于1676年给皇家学会秘书奥尔登伯格写的两封重要信，在其中，牛顿讲了一些他的数学方法。在给奥尔登伯格的信中，牛顿叙述了他早年对推广的二项式定理的推导。
牛顿做出的一个更为重要的发现是他的流数法。1669年他把要点告诉了巴罗。他的《流数法》写于1671年，直到1736年才发表。在这部著作中，牛顿把一条曲线看作是由一个点的连续运动生成的。依照这个概念，生成点的横坐标和纵坐标，是这个点的一系列变动的量。牛顿称变动的量为“流”，流的变化度称为它的流数。
牛顿考虑两种类型的问题，在第一类型的问题中，给出联系一些流的关系式，要我们找出联系这些流和它们的流数的关系式。这就是我们上面讲的，这自然等价于微分。
在第二种类型的问题中，给出联系的一些流和它们的流数的关系式，要我们找出仅仅联系流的关系式。这是逆问题，等价于解微分方程。
后来牛顿用他的初步极限概念作为根据，证明略去包含零的二次或二次以上的项是正确的。他定义极大值和极小值、曲线的切线、曲线的曲率、拐点、曲线的凸性和凹性，并且把他的理论应用于许多求积问题和曲线的求长。
在一些微分方程的积分中，他显示了超人的能力。在这部著作中有对代数方程或超越方程都适用的实根近似值求法——此方法的一个修正，现在被称作牛顿法。
《通用算术》包括牛顿从1673年到1683年讲演的内容。在其中，有方程论方面的许多重要成果，例如：实多项式的虚根必定成双出现；求多项式根的上界的规则；以多项式的系数表示多项式的根的n次幂之和的公式；给出实多项式虚根个数的限制的笛卡儿符号规则的一个推广及许多其他内容。
作为《光学》这部著作的附录发表的《三次曲线》，用解析几何的方法研究三次曲线的性质。在他给出的三次曲线分类中，牛顿列举了三次曲线可能的78种形式中的72种。其中最吸引人、也最难的是：正如所有二次曲线能作为圆的中心射影被得到一样，所有三次曲线都能作为曲线的中心射影而得到。这一定理在1731年发现其证明之前，一直是个谜。
自然，牛顿的最伟大的著作是他的《原理》，其中，第一次有了地球和天体主要运动现象的完整的动力学体系和完整的数学公式。事实证明，这在科学史上是最有影响、荣誉最高的著作。有趣的是，这些定理虽然也许是用流数法发现的，却都是借助古典希腊几何方法熟练地证明的。
在相对论出现之前，整个物理学和天文学都是以牛顿在这部著作中作出的有一个特别合适的坐标系这种假定为基础。在《原理》中，有许多涉及高次平面曲线的成果和一些引人入胜的几何定理的证明。
牛顿从来没有被在那个时候的数学家中流传的各种各样的数学竞赛题的任何一个难住过。针对莱布尼兹提出的一个问题，他解决了求一族曲线的正交轨线的问题。
牛顿是一位熟练的实验家和一位优秀的分析家。作为一个数学家，他几乎在全世界也要算是历史上最伟大的。他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。人们能找到由有能力的鉴赏者对他的伟大给予的高度评价，像莱布尼兹这样作了杰出贡献的人也说：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。”拉格朗日对牛顿的作用和影响也有过评语：说他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人，是因为宇宙体系只能被发现一次。
自然和自然的规律沉浸在一片黑暗之中，他的成就被英国诗人波普用诗表达：
上帝说：生出牛顿来，一切都变得明朗。
与这些颂扬相反，牛顿对他的工作有自己的谦虚的评价：“我不知道世间把我看成什么样的人，但是，对我自己来说，就像一个在海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，在我前面是完全没有被发现的真理的大海洋。”在尊重他的前辈的成果方面，他曾作过这样的解释：如果他比别人看得远些，那只是由于站在巨人的肩上。
曾有这样的报道：牛顿常常把24小时中的18或19个小时用于写作， 并且他有超人的集中注意的能力。 有几个有趣的故事， 也许不足凭信，说的是他如何聚精会神、忘记一切。例如，有个故事说，一次他请一些朋友吃饭，他离席去拿一瓶酒，可是他跑回房间竟然把取酒这事忘了，而穿上白衣，进了祈祷室。
另一次，牛顿的朋友斯图克利博十请他吃鸡肉饭。牛顿出去了一会儿，但是，桌子上已经放好盖着的盘子，里面是烹调好的鸡肉。牛顿忘记吃饭这事，而超过了时间，斯图克利把鸡吃了，然后再把骨头放在盖着的盘子里。牛顿回来后，发现只剩下骨头了。他说：“亲爱的：我竟然忘了我们已经吃了饭。 ”
还有一次，他从格兰瑟姆骑马回家时，下了马步行，牵着它上城外的斯皮特门山。牛顿不知道马在上山时滑脱了，到了山顶，准备再上马时，才发现手里只剩下个空缰绳。
