孩子的脑海里一定要有一个坐标系

在我听说过的数学家当中，笛卡儿睡懒觉是出了名的，这样说有欠公允，笛卡儿实际上不是在床上睡觉，而是在床上思考。

我第一次和女儿这样说的时候她就很惊愕地看着我，以为我说错了。

“在这一点上面，好像和你不同，是吧？”

女儿想了想说：“他其实没有睡懒觉。”

“不过，在这一点上，更主要的还是因为时代不同，”我不放心地进一步解释，“也由于身体条件的原因，当然，还有学校在因材施教的问题上有着全然不同的理解。”

“笛卡儿是西方近代哲学奠基人之一。他的哲学与数学思想对历史的影响非常深远。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：‘笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。’这样的赞誉使你想到了什么？”

“爸爸，我不懂。”

“没关系，很多问题人们毕其一生都不能完全弄懂，这是一个极限问题。”

“什么是极限问题？”孩子开始刨根问底。

“哦，”我想了一下说，“好比有一个特别大的果园，你可以把你的篮子装满，也还可以帮助别人装满他们的篮子，但是，你没有办法把果园里的果子全摘完。就是说，你在不断地接近摘完的极限，但是，你永远不能到达极限。”我想尽快结束这个讨论，回到笛卡儿的主题上来。

“不过，我们这里主要是谈论笛卡儿的数学，等你再长得大一点，我们肯定有讨论哲学的机会，比如说等你上初中一年级的时候，你可以看看书架上《苏菲的世界》这本书，对于一个10岁的孩子来说，那本书你现在还不会看懂。 ”

“好了，我们还是回到我们的主题吧，我还是觉得笛卡儿对人类的贡献更主要的还是在数学方面。”

“笛卡儿，1596年出生于法国离图尔不远的地方。他八岁进拉弗莱什的耶稣会学校。在那里，他养成了——最初是由于他虚弱的身体——早上睡懒觉的习惯。后来，笛卡儿说，他的大部分成果出自早上休息的那段适宜沉思的时间。8年以后，笛卡儿离开了学校，不久就到了巴黎。如果没有对科学的兴趣和极高的自制能力，很可能会在四处漂泊的时间里慢慢地燃尽生命的蜡烛。还好，笛卡儿不是这样的人。”

“笛卡儿的思想很勤奋——”女儿抓住时机总结。

“对！他在巴黎和梅森、迈多治一起研究数学。到巴黎5年之后，从1617年起，他在奥朗日的莫里斯亲王的军队里当了几年兵。在离开军队之后，他花了四五年工夫外出旅行，到过德国、丹麦、荷兰、瑞士和意大利。然后，他回到巴黎住了两年，在那里他继续进行数学研究和哲学探索，还一度从事光学仪器的制造。随后，他又在荷兰很强盛的时候迁到了荷兰，在那里生活的二十年中，他从事哲学、数学和自然科学的研究。他的主要成果就出在那里。”

“荷兰有郁金香——”

“是的，笛卡儿的科学成就就像郁金香那样美丽。”我真的希望孩子看到郁金香的时候会自然地想到笛卡儿，希望她把笛卡儿和美丽建立一种联系。

“1649年，他勉强地接受克利斯蒂娜女王的邀请到了瑞典。这次旅行非常不幸，几个月后，在1650年初，他因患肺炎死于斯德哥尔摩。那个时候，肺炎是一种非常可怕的疾病，就像今天的癌症和艾滋病一样，很难有人能够逃脱它的魔掌——在荷兰的头四年，笛卡儿写《世界体系》，开始对宇宙作物理的考虑。但是，当笛卡儿听到伽利略受到教会的谴责时，为了谨慎起见，把这部著作抛开了，后来再也没有机会完成它。很快，他转过来写一部关于一般科学的哲学论著，标题是《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》， 有时候人们把这本书简称为《方法论》，该书有三个附录，即《折光》、《气象学》和《几何学》。这本书连同附录发表于1637年。笛卡儿对解析几何的贡献，就在第三个附录中。”

“附录还这么重要！”女儿很少看书的附录，除了英语课本，英语课本的附录有生词表。

“《几何学》是著名的《方法论》的第三个附录，在整个著作中大约占100页，不要笑，这确实是一个很长的附录，它本身又分为三部分。 ”

“哪三部分？”

“第一部分包括对一些代数式几何的原则的解释。你还记得希腊人是怎么看线段的吗？”我没指望孩子回答，马上接着说，“对于希腊人来说，一个变量相当于某线段的长度，两个变量的乘积相当于某个矩形的面积，三个变量的乘积相当于某立方体的体积。三个以上变量的乘积，希腊人就没法处理了。显然，希腊人还没有处理多于三维的多维概念的能力。”

“笛卡儿不这么考虑，他认为：与其把x²看作面积，不如把它看作比例式：1：X=X：x²的第四项，从而，只要X是已知的，x²就可以用适当长度的线段来表达。这样，只要给定一个单位线段，我们就能用线段的长度表达一个变量的任何次幂或任意多个变量的乘积；而当变量的值被指定时，我们就能用欧几里得工具确实地作出那么长的线段来。”

“我一点都不懂。”女儿开始抗议。

“这个问题对于你这样的10岁的孩子来说显得很绕脑子，确实是这样，但对于成年人来说，还是很容易理解。那么让我换个说法，比如，你把X看成3，那么1：3和3：9确实是相等的，这就好比说，我允许你玩游戏的时间延长三分之一和允许延长九分之三的时间是等值的。好，现在你同意笛卡儿的观点了吧。”

“噢——”女儿似懂非懂，嘴唇动了一下。

“我知道你接下来会马上问我一个问题，当然，我很高兴你这种穷追不舍的精神。你的问题是：为什么古希腊人和笛卡儿的看法会有那么大的不同，他们究竟谁对？”

我在回答这个问题之前稍稍停顿了一下，以便女儿更集中注意力，同时也为了使女儿知道，我下面要告诉她的是很重要的事情。

“古希腊人是从几何入手的，自然会将一个数的乘方看成是一个图形的面积。对于笛卡儿来说，他是从算术的角度看待乘方的，所以，一个数的乘方仍然代表一个具体的数，而一旦可以看成一个具体的数，就完全可以把它看成是一个线段的值。”

我随手在纸上画了一个坐标，在纵轴刻度3的地方重重点了一下，然后我问：“3的平方在哪里？”

女儿指了指刻度9那个地方。

“对了。”

“还有其他答案吗？”

“有——”女儿拿过笔来很快地在横轴刻度3和竖轴刻度3的交点处点了一下，“在这里。”

“那么，你再继续想想，如果一个人的出发点不同，或者是观察问题的角度不同，得出完全不同的结论是不是就很正常了？”女儿点点头，似乎明白了什么，“显然，这是再正常不过的事情了。我记得你在大约三年级的时候就学过盲人摸象的寓言故事，其实也就是说的这个道理。”

“那么，现在，我们来回答古希腊的学者和笛卡儿他们之间谁对谁错的问题。”

“都对。”

“对了，你的回答是对的，我已经知道你会这样回答，他们都是对的， 但他们都不全面。 ”

“他们都没到达极限。”女儿活学活用得很快。

“x²意味着面积只是x²所包含的全部意义中的一个特殊的例子，而做为一个线段来看待，也同样是全部含义当中的另外一个特例，它还可以有其他的特例，而且还会很多很多，而所有这些特例加在一起，或者用数学的术语说x²的集合就是x²的全部意义。”

“集合就是全部。”

“是，你知道集合的符号怎么写吗？”我在纸上写下了集合的符号。

“嘻嘻——像是一个躺着的麦当劳招牌。”

这个孩子什么时候能忘了麦当劳呀，我心里暗想。

“作为解析几何的开端，笛卡儿最感兴趣的是：对按运动学定义的曲线求出这样的关系式。如果你学习了解析几何的知识，你就可以用解析几何的关系式来描述你的那艘遥控快艇在咱们小区水景的水面上飞驰而过的轨迹，你会一边操纵遥控器，一边在身边的水泥地上用一个小石子随手写下一个用符号代表的式子。那将是一件多么惬意的事情呀——”

“据说，古希腊人解决了一些特定的简单的运动轨迹问题。但是，没有解决一般问题，笛卡儿的解析几何能解决更为普遍的问题，这充分显示了新方法的优越性，也更具有抽象性。正如你已经知道的，越有抽象性的东西，越具有普遍性。据说，他之所以发明解析几何，正是由于试图解决更普遍的问题。比如笛卡尔的代数方法正是后来求切线方法的雏形，笛卡儿求切线的方法叫‘圆法’，后来牛顿就是以笛卡儿‘圆法’为起跑点而踏上研究微积分道路的。”

“什么是切线？爸爸——”

女儿是生平第一次听到“切线”这个词儿。

“一般的定义是：过圆直径的一端垂直于直径的直线。”我马上用更通俗的语言给他解释，“你可以简单地理解有一个圆球，就算是你放在床下的那个皮球吧。”

孩子很快跑去把那个皮球拿过来。

“你把它放在桌子上。”

孩子把皮球放到桌子上，不让它滚动。

“对于你的那个皮球来说，桌子面就是皮球的切线。”

女儿弯下腰，仔细地看了看。

待孩子直起腰，我接着说：“现在懂了吧——”

其实，所有的数学问题在生活中都可以轻而易举地找到他们的含义，所不同的是，我们在生活中并不用数学语言来描述他们，所以，对于很多人来说，数学就像天书一样的难以理解。很多老师不太善于解决这个问题，这导致一个直接的后果就是学生对数学敬而远之。

笛卡儿《几何学》的第三部分涉及高于二次的方程的解法。我没有和女儿提及，我担心女儿“消化”不了。它用到现在所谓笛卡儿符号规则，即确定一个多项式具有的正根和负根的个数的最大限额的规则。不过，多项式我还是经常和孩子说起。

多项式就是有加减号连接的代数式。我经常把生活中的其他事情用多项式来表示，比如：令a等于勤奋，b等于机遇，那么，a+b=成功，就是一个多项式。

在《几何学》中，笛卡儿确立了用前几个字母代表已知数，用末后的字母代表未知数的习惯用法，X是倒数第三个字母，我们总是用它来表示未知数。说到用X表示未知数，后来还遭到大数学家莱布尼兹的批评，他认为这个X很容易和乘号混淆。确实是这样，我记得我就提醒过孩子写乘号要特别注意。现在，每当我看女儿作业的时候也会为此分心不少，不过，到目前为止，人们并没有改变这个符号的意思。

笛卡儿还引进了我们现在的指数系统——例如，a³，a⁴，等等，其实就是字母或数字右上角的那个像个小犄角的标志，比起韦达表示幂的方法有很大改进。他还认识到在数学里字母可以表示任何量，正的或负的。

解析几何这门学科达到我们现在课本中熟悉的形式是一百多年后的事。坐标、横坐标和纵坐标，这几个术语，像今天在解析几何中那样使用，是莱布尼兹——后面我们还会专门讲述莱布尼兹的故事——于1692年出的主意。

关于笛卡儿的解析几何思想的最初一闪念，有几个传说。其中一种说，它出现于笛卡儿的梦中。

在1619年11月10日圣马丁节前夕，在多瑙河畔扎营的时候，他做了三个异常生动并且连贯的梦；笛卡儿后来说这几个梦改变了他生命的整个进程。他说，这梦向他揭示了“一门了不起的科学”和“一项惊人的发现” ， 从而使他的生活目的明朗化并决定将来献身于什么事业。 笛卡儿从不明确地说明这了不起的科学、这惊人的发现是什么；但是，人们相信：那就是解析几何，或代数在几何学中的应用，并且，进而把所有科学归结为几何学。18年后，他在其《方法论》中阐述了他的某些思想，使得人们确信他所梦见的“科学”就是解析几何。

我曾经和女儿说过，我也希望她能做点这样的梦，我说：“但是，你首先要日有所思才行——”

另一种传说能与牛顿看见苹果落地的故事相媲美，说的是笛卡儿最初一闪念是在他注视一只苍蝇在天花板的一角爬行时出现的。

我有一次和女儿聊天的时候说：“我知道你上课的时候经常走神，你曾经亲口告诉我说，你半节课都在看一只在教室里飞的苍蝇，那个时候，你想到了什么？笛卡儿想到的是：只要知道苍蝇与相邻两墙的距离之间的关系，就能描述苍蝇的爬行路线。”

我的女儿有一个很大的问题就是她不能够较长时间地集中注意力。在女儿刚回到我身边的时候，那时候她8岁，我就带她去北京市儿童医院，一番诊断测试之后，医生告诉我说：孩子有多动症，感觉统合也失调，主要是小时候“爬”得不够，这是孩子注意力不能集中的主要原因。好长一段时间里令我非常沮丧。