让孩子早日挣脱第一象限
孩子是从第一象限开始学习数学的，人类的数学发展也是从那里开始，但是今天，我们需要尽早的让孩子摆脱第一象限的限制，因为笛卡儿的出现，我们早已经具备这样的条件了。
几何学及注重逻辑和证明的几何式思考方式是古希腊数学的传统，当然是非常优秀的传统，这在一些不太讲究精确和严谨的文化背景下更能显示出它的价值。
在古希腊及其后的一千多年里，几何学几乎是数学的同义词，数量的研究也包含在对形状的研究之中。这种趋势直到17世纪上半叶，也就是在距今300多年前才渐有改变。那时候，代数学已经比较成熟，同时科学发展也迫使几何学寻求更有效的思考工具和更能量化的科学方法。在这双重刺激之下，解析几何学就诞生了。笛卡儿和费马可以算作是解析几何的鼻祖。
在德沙格和帕斯卡开辟射影几何这个新领域的同时，笛卡儿和费马就在构想现代解析几何的概念。他们的成果在一定程度上掩盖了德沙格和帕斯卡的工作，这使得影射几何被人们接受推迟了很多年。科学史和现实生活一样，也有“生不逢时”这样令人遗憾的事情。即使是同一个科学家，比如牛顿，他在解析几何上的贡献也由于他在其他领域贡献的光芒四射（比如微积分、万有引力等）而显得不被人们重视。所以，你一定要感叹中国古代哲人关于“天时、地利、人和”的思想是多么的深刻和精辟 。
这两项研究（影射几何与解析几何）存在一个根本区别，前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。
从费马、笛卡儿、牛顿等人的著作，就知道刚开始时解析几何并不叫解析几何。告诉孩子这件事情并没有任何害处，这会使孩子从小就能够清楚地看到事情发展的大致过程，从而避免概念的混淆，而概念的混淆是孩子所犯的几乎所有错误的最主要的原因。
事实上，一直要等到18世纪末，解析几何才成为普遍使用的名词。用解析几何研究几何作图，采取的是从答案循着线索回到已知，然后反过来，再从已知证明答案的方法，这是传统的解析方法，也是解析几何的原意。
在数学史上，17世纪是个创造的时代，18世纪是个推广、发展及整理的阶段，微积分如此，解析几何也一样。在18世纪里，有关解析几何的研究愈来愈多，教科书也陆续出版。
在17世纪以前，代数学本身尚未完全成熟，也使解析几何的想法未能迅速推广开来。那时，负数的观念并不成熟，尤其是几何的量不能与负数有关，所以许多可以统一处理的情形，都得分成好几个状况，分别处理，而且只有在第一象限才有图形。
人们在第一象限苦苦挣扎了好几千年，留给我们后人的成果是告诉我们一个多维和多象限的世界。我们应该很好地利用这些成果，这使孩子能够很好地“站在巨人的肩膀之上”。
出于这样的考虑，我一直避免简单地单纯使用线段，在四年级的下半学期，在需要使用线段来给孩子讲题的时候，我也总是使用四个象限的直角坐标。这很简单，画个十字，在横竖交叉的地方写上一个0就解决问题了。孩子现在上五年级，她也习惯这样的画法，这样作的直接回报是，她对理解负数和整数、小数以及无理数没有任何困难。
学习大学基础课的学生在刚学习处理几何问题的这个新的、强有力的方法时，总觉得非常兴奋，比对别的功课的感受深。应该记住，对于平面情况，这概念的实质是：在平面上的点和很有秩序的实数对之间建立一一对应的关系，从而使平面上的曲线和两个变量的方程之间的对应成为可能，使得平面上每一曲线存在一确定的方程，并且反之，对每个这样的方程，存在平面上的一条曲线或一组点。
类似地，在方程的代数和解析性质与相联系的曲线的几何性质之间也有对应关系。几何学中证明定理的工作被灵巧地归结为在代数和解析中证明对应的定理。
这对于数学来讲是一个飞跃，同样，用抽象的方法去证明直观的东西代替用直观的方法去证明直观的东西，对于孩子来说也是一个飞跃。通过这样的训练，孩子的抽象思维能力，逻辑推理能力可以得到极大的加强。如果不及早地给以孩子正确的引导和训练，孩子的抽象思维能力将受到不可逆转的损失。
这做起来并不难。有些家长一说到解析几何这个词儿就感到“头大” ， 这是小时候错误的教育方法留下的 “后遗症” 。
我们已经知道：古希腊人热衷于搞几何式的代数，他们是几何学的鼻祖，而且成绩斐然，在当时大部分国家和地区的人们还处于蒙昧状态的时候，他们已经有了证明圆锥曲线的成果；并且我们还知道：坐标的概念在古代被埃及人和后来的罗马人用于测量，也被希腊人用于绘制地图，他们甚至计算了地球的周长，竟然与今天的结果所差无几。对希腊人最有利的是这样一个事实；阿波洛尼乌斯从圆锥曲线的某些等价于笛卡儿方程的几何性质导出了他那内容丰富的圆锥曲线的几何学。
18世纪以前的2000多年间，人们一直用古希腊人的方法研究几何；2000年后，欧洲人将古希腊人研究几何的方法革命性地推进了一步。应该说，解析几何这门学科的实质在于：把几何研究转换成对应的代数研究。你也可以简单地这样理解，古希腊人和后来的很多人一直沿用这样的传统——用尺规和逻辑研究几何，现在，解析几何诞生之后，人们开始用代数和逻辑研究几何。这种研究方法的变革大大扩展了研究领域。
当然，我们从来也不认为解析几何是一蹴而就的。
16世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线的轨迹运动的。这些发现都涉及到更复杂的圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》。这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。 当时的这个 “几何学” 实际上指的是数学， 就像我国古代 “算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但它实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题归结为一个代数问题，然后，再把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述设想，笛卡尔从天文和地理的经纬制度得到启发，指出平面上的点和实数对可以表示为X和Y的对应关系。X，Y的不同数值可以确定平面上许多相应不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。
就这样笛卡儿坐标系诞生了。
从笛卡儿开始，数字有了“位置”。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变量的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
这是一个重要的思想，而且可以拓展，例如，门捷列夫的化学元素周期表就是一个物质坐标系，从这个认识角度出发，你可以更容易地找到元素变化的规律，从而在你的脑海里建立一种全新的元素模型，不信你可以和自己的孩子试一试，而且，这对于孩子化学成绩的提高大有裨益。我并没有在女儿身上做这样的尝试，因为她还太小，小学五年级的孩子到理解微观世界还有好长一段距离。
解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”——经度和纬度来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。
在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。
费马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的文章，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费马死后，他的思想和著述才从他给友人的大量通信中被整理出来，并得以公开发表。
笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是他引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。
在解析几何中，首先是建立坐标系。除了直角坐标系外，我们现在知道，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。
坐标系已经是人们研究数学的常用方法，但是在中国，并非深入人心，当你看到你身边有那么多分不清东南西北、经常迷路的人，你就知道他们缺少坐标的概念。可是，我在一些发达国家考察访问的时候却极少看到这样的情况。
我一直非常重视训练孩子熟悉坐标，建立坐标的框架和运用坐标的习惯，把问题放到坐标系里思考。我我还采用另外一种方法，就是经常使用地图。
在我的译著《孩子是管出来的》那本书里，老卡尔威特就是采用看地图和画地图的方法来训练孩子的空间思维能力。他甚至经常让孩子画各种地图，比如让孩子画他们居住的小镇子的地图。
这种方法实施起来很简单，我就让孩子画我们居住的小区的地图、画她们学校的地图，出门旅游的时候，也让她看着地图给我们领路，我们分配给她“领航员”的工作，她对“领航员”这个头衔很感自豪。
通过这样的训练，她很好地建立了空间的概念。显而易见的结果是，她甚至比大人还能更准确地知道方向和路线。
经过这样的训练，过去枯燥和简单的数字现在变得活生生的了。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以将空间形式的研究归结成比较成熟、也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的开端。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”
解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线——的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线的有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。
比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上。探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的抛物面。
总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，由“数”的性质推演出曲线的性质。这就像两个人相对而行，目的都是走完这段路程。
原来，女儿在做应用题的时候遇到许多困难，事实上，这也是很多这么大孩子普遍存在的问题。应用题一直是小学教学的重点和难点，中小学老师一直在想办法提高中小学生利用所学的数学知识来解决现实问题的能力。运用坐标系在教女儿做应用题的时候效果最为明显，原来很抽象的东西变得很直观，后来，我一直在想，较早地引入坐标系应该是一种不错的办法。可是，现在的小学教材里似乎在刻意回避这个问题，相信在不久的将来会有所改观。
从数学研究的角度来看，坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题，而对于孩子来说，几何的形象性可以很好地帮助孩子解决代数的学习问题。先前被看作数学中的难题，一旦运用坐标方法来考虑后就变得平淡无奇了。坐标法对孩子数学的学习提供了有力的工具。这样，你就可以很好地理解为什么人类几千年的有文字记载的历史中，在一多半的时间里都是古希腊的几何学占据统治地位。
就数学史来说，无论如何，在解析几何采取现在的高度实用的形式之前，它必须等待代数符号的发展。因此，大多数历史学家的意见也许是比较正确的。他们重视笛卡儿和费马这两位法国数学家在17世纪做出的决定性的贡献，认为那至少是现代意义上这门学科的必不可少的起源。
就女儿来说，我觉得让她更多地了解笛卡儿和费马是很有必要的，因为，解析几何不仅包含丰富的数学思想，而且包含丰富的哲学思想，笛卡儿也是在哲学史上留下重要贡献的哲学家，所以，我特意给孩子讲笛卡儿的故事，这样，也使得坐标系变得更加丰满起来。