我们每天做的事情不是“微分”就是“积分”
把一张饼一口一口的吃完，或者，把一个瓶子一点一点的注满水，这是任何一个小孩子都会做的事情，不同的是，家长很少向孩子解释这其实就是一个微分或者积分的过程。微积分的原理其实就是这么简单。
我们已经看到，数学研究的许多新的、广泛的领域是在17世纪开辟的，使得这个时期成为数学发展中最富有成果的时期。无疑，其中最值得注意的成就是接近该世纪末牛顿和莱布尼兹作出的微积分的发明。有了这个发明，创造性的数学相当普遍地发展到一个高级的水平，使初等数学的历史基本结束。
微积分的概念具有深远的影响，几乎可以这样说：今天，如果一个人没有这方面的知识，就不能说他很好地受过教育。
有趣的是：在大学课程中通常的讲授次序是先微分后积分，而在历史上，积分的概念比微分的概念先产生。
积分的概念最初是由于它在与求某些面积、体积和弧长相联系的求和过程中起作用而引起的。以后，微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。再往后，才注意到：积分和微分彼此作为逆运算而相互关联。
虽然我们讲的主要部分在17世纪，但是，我们须从古希腊和公元前5世纪开始。
先回忆一下芝诺悖论。
我们应该如何假定一个量？它是无限可分的，还是由非常多的极微小的不可分的部分组成的？第一个假定，对我们大多数人来说，似乎比较合理，但是，第二个假定在发现新事物过程中很有用，这使它表面上的一些荒谬之处显得不那么重要。
事实上，在古希腊时代，数学推理的不同学派，有的用这个假定，有的用那个假定。在这两种假定中都会遇到某些逻辑上的困难。
公元前5世纪，由埃利亚哲学家芝诺想出的四个悖论明显地暴露这种困难。这些对数学发展有深刻影响的悖论断言：不管我们假定量是无限可分的，还是由许多极微小的不可分的部分组成的，运动都是不可能的。
对于芝诺悖论，曾有人给出许多解释，并且要说明它们与普通直觉的信念相抵触并不难。
不管芝诺的动机是什么，其结果是；希腊证明几何中从此就排除了无穷小。还有欧多克斯的穷竭法。
在微积分历史中出现的最初的问题涉及计算面积、体积和弧长。在关于它们的论述中，我们可以找到上面讲到的关于量的可分性的两个假定的论据。
苏格拉底的同时代人安提丰，是对圆的求积问题最先做出贡献的一个人。据说，安提丰提出了这样一个概念：随着一个圆的内接正多边形的边数逐次成倍增加，此圆与多边形的面积的差最终将被穷竭。因为我们能作出与任何给定的多边形面积相等的正方形，所以就能作出与该圆面积相等的正方形。
这个论断当时立即受到批驳，其理由为：它违背了：“量是无限可分的”这一原则，因此，安提丰的程序永远不能穷竭此圆的全部面积。
尽管如此，安提丰的大胆论断包含著名的希腊穷竭法的萌芽。穷竭法通常以欧多克斯命名，并且，也许能被看作是柏拉图学派对芝诺悖论的解答。
这方法假定量的无限可分性，并且以下述命题为基础：如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，从余部中再减去不小于它的一半的另一部分等等，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量。
阿基米德宣称：在任一多边形底上的棱锥的体积是等底等高棱柱体积的三分之一。关于德谟克利特我们知道得很少，他多半未能给出此定理的严格证明，因为一个棱柱能被分成全是三角形底的棱柱的和，而后这种棱柱又可被分成三个两两等底等高的三角形棱锥，由此得出：德谟克利特问题的关键在于证明，两个等底等高的棱锥有相等的体积。此定理的证明是后来由欧多克斯用穷竭法推出的。
德谟克利特是怎样得到这个最后结果的呢？
普鲁塔克提供了一个线索，他引述德谟克利特在把一个锥体看作由无穷多个平行于底的截面组成时曾经遇到的一个疑难。如果两个“相邻”截面的面积不一样，则立体的表面被近似地分成一系列小阶梯。在这里我们有一个涉及量的可分性的假定，它是已经考虑过的两个假定的某种中间物。因为，在这里，我们假定锥体的体积是无限可分的，即可分成无限多个不能再分的极薄截面，但是这些截面是可数的。德漠克利特当时可能这样论证：如果两个等底等高的棱锥被平行于底的平面所截，且以同样的比例分其高，那么，形成的对应截面是相等的。所以，两个棱锥包含同样的无限多个相等的平面截面，因而必定具有相等的体积。
但是，在古人中，阿基米德做出了穷竭法最巧妙的应用，并且他的方法最接近于现行的积分法。阿基米德在其对某些面积和体积的论述中，得出了我们的初等微积分课本中出现的若干定积分的等价物。
穷竭法是严谨的，然而是不能得出成果的。换句话说，一旦知道了一个公式，穷竭法就能提供证明它的灵巧工具；但是，这方法对结果的最初发现不起作用。在这方面，穷竭法很像数学归纳法。但是，阿基米德是怎样发现用穷竭法很灵巧地证明那些公式呢？
上面这个疑问，直到1906年，海伯格在君士坦丁堡发现阿基米德的一篇长期失传的论文《方法论》的手抄本，才理出个头绪来。那是阿基米德给埃拉托色尼的一封信。这手抄本是在一个重写羊皮纸文件中发现的，那是在10世纪写上的，后来在13世纪被洗去而用于宗教上的经文。幸亏第一次原文的大部分还能被修复。
阿基米德方法的基本概念是这样的：为了找所求的面积或体积，把它分成很多窄的平行的条和薄的平行的层，并且把这些片挂在杠杆的一端，使它平衡于容积和重心为已知的一个图形。
这就像用天平来“称量”体积或面积。啊，这是一个多么巧妙的思路！
据说，这就是阿基米德在《方法论》中求球体体积公式的途径。但是，他的数学良知不允许他把这样一种方法认作是证明，因此他又用穷竭法给出了严格的证明。我们看到：把一个量当作由大量极微小部分组成的，这个没有严格根据的思想，在平衡法中获得了多么大的成果！现在，我们可以用现代的极限方法，使阿基米德的平衡法完全严格化，成为和现代积分法本质上相同的东西。
无论如何，这种知道答案，再想办法论证，也是一种很好的方法。积分的理论，在阿基米德的值得注意的成就之后，在一个相当长的时期，没有多大发展。大约到1450年，阿基米德的著作才通过在君士坦丁，于1540年出版。几年之后，又有了第二种译本。但是，一直到大约17世纪初，我们才见到阿基米德的概念的进一步发展。
法兰特斯地方的工程师斯蒂文和意大利数学家瓦莱里奥，这两位现代数学的早期作者所用的方法可以和阿基米德的方法相比。他们两位都试图直接取极限。
在发展与积分相联系的无穷小概念的较早的现代欧洲人中，应该特别提到开普勒。
为了计算行星运动第二定律中包含的面积和在他的论文中讨论的酒桶容量的体积，开普勒不得不借助于某种积分程序。但是，开普勒如同别的同时代人一样，对严格地使用穷竭法缺乏耐心，而为省事，随意地采用了阿基米德只认为是启发式的程序。于是，开普勒把圆周当作有无限多边的正多边形。如果这些边的每一条被取作顶点在圆心的三角形的底，则圆的面积被分成无限多个其高等于圆的半径的窄三角形。
由于每一个这样的窄三角形的面积等于其底和高乘积的一半，从而推出：圆的面积等于其圆周和半径乘积的一半。他继而又推出：球体的体积等于其表面积和半径乘积的三分之一。尽管从数学严格性的观点看，这样的方法要不得，但是，它们以很简单的方式得出了接近正确的结果。直到今天，人们还经常看到物理学家和工程师们使用这样的“微元”法，而让专业数学家去作严格的极限处理。并且，几何学家常在一个参数的曲线或曲面族中使用 “相邻的” 点、 “相邻的” 曲线和曲面这种方便的概念。
我们再看看卡瓦列利。卡瓦列利的论文写得罗嗦、不清楚，难于明确地知道所谓“不可分元”是什么。
所谓卡瓦列利原理：
1.如果两个平面片处于两条平行线之间，并且平行于这两条平行线的任何直线与这两个平面片相交，所截二线段长度相等，则这两个平面片的面积相等。
2.如果两个立体处于两个平行平面之间，并且平行于这两个平面的任何平面与这两个立体相交，所得二截面面积相等，则这两个立体的体积相等。
卡瓦列利原理是计算面积和体积的有价值的工具，并且，其直观基础可用现代的积分学容易地给出。把这些原理当作直观显然地接受下来，我们就能解决许多通常需要高深得多的积分技术才能解决的量度问题。
这基本上是开普勒求半轴长为a和b的椭圆面积之程序。
假定卡瓦列利原理成立并始终如一地使用它，可以简化在中学立体几何课程中遇到的许多公式的推导。此程序已被许多教材作者采用，并且在教学法的角度上受到了人们的拥护。