第五部分  欧洲数学崛起

中世纪临近结束之前主要是数学的传播

大约在热尔拜尔时代，希腊的科学和数学的经典著作开始传入西欧。接着，有一个传播时期，由穆斯林保存下来的古代学术传到西欧。

这是通过到穆斯林学术中心旅行的基督教学者进行的拉丁文翻译，通过西西里的诺曼王国与东方的联系，以及通过西欧与地中海东部诸国和阿拉伯世界的商业联系而实现的。

摩尔人于1085年在托莱多败于基督教徒。接着，基督教学者们涌入该城，他们还涌入西班牙的摩尔人的其他文化中心。12世纪在数学史上成了翻译者的世纪。

大约公元1120年，巴思的英国修士阿德拉特是参加这样工作的最早的基督教学者之一。他在1126年至1129年间曾在西班牙学习并到希腊、叙利亚和埃及旅行。欧几里得的《原本》和花拉子模的天文表的拉丁文译本被认为是阿德拉特的功劳。阿德拉特为获得阿拉伯学问而冒生命危险的故事是很感人的。他为了得到被保守得很严密的知识，假装成伊斯兰教的学生。

另一位早期翻译者是意大利人，蒂沃利的柏拉图，他大约在公元1120年，翻译了巴塔尼的《天文学》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其他著作。

犹太数学家亚伯拉罕·巴希亚以希伯来文写了一本《实用几何学》，后来译成了拉丁文。西方就是从这本书首次学到二次方程的完全解的。这本书影响很大。

这个时期最辛苦的翻译者是克雷莫纳的格拉多，他把90多部阿拉伯文著作译为拉丁文， 其中有： 托勒密的《大汇编》、 欧几里得的《原本》和花拉子模的《代数学》。

12世纪的其他的重要的翻译者是：塞维利亚的约翰和切斯特的罗伯特。

12世纪是数学史上的大翻译时期，是知识传播的世纪，由穆斯林保存下来的希腊科学和数学的经典著作，以及阿拉伯学者写的著作开始被大量翻译为拉丁文，并传入西欧。当时主要的传播地点是西班牙和西西里，著名的翻译家有巴思的英国修士阿德拉特、克雷莫纳的格拉多、切斯特的罗伯特等等。

让孩子对欧洲有个更全面的认识

看上去女儿对于中世纪没有什么概念，更别说中世纪欧洲的数学了。这并不奇怪，成年人也是如此。但是，在我沿着数学史的轨迹来教女儿那些在学校里不讲的知识的时候，中世纪欧洲数学的这道门槛是不可以一闭眼就迈过去的。同时，我也希望让孩子对欧洲有个更为全面的认识，这也可以避免孩子偏激。因为，数学在经历了中世纪的沉寂之后，将要进入欧洲的世纪。

除了希腊和意大利，在埃及、巴比伦、希腊、亚历山大和阿拉伯相继盛极一时的年代里，欧洲，主要是中欧北欧和西欧只有原始的文明。

这样说一点也不过分，他们似乎远离欧洲与非洲交界处的世界文明中心，不紧不慢地度过了数千年，一直到了阿拉伯文明开始衰落的时候，他们才开始意识到该是他们登场的时候了。而美洲，那还要等待一段更长的时间。

欧洲，除了希腊和意大利，在人类数学漫长的历史中到底是怎么度过的，大多数人知道的只是他们没有任何建树，也没有什么值得一提的东西。那个时候的日尔曼人既不会书写，也不会计算，可以称为知识的东西非常有限。

希腊和意大利从地理上来讲属于欧洲，但是，希腊和意大利人的成就对于西亚和中亚的影响显然要比对于他们北面和西面其他部分欧洲的影响要大得多，这是一个奇怪的现象，有人专门研究地缘政治和地缘经济，如果有人研究地缘数学的话可能会有不错的答案，那个时候，欧洲的政治和文化中心不在西欧，更不在北欧，而是在紧靠西亚的贸易发达的地中海沿岸的希腊和意大利，造成这种现象的罪魁祸首好像是高耸在他们之间的阿尔卑斯山脉。这条山脉可以轻易地在任何一份世界地图中找到。

从5世纪中叶西罗马帝国灭亡开始到11世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代，因为在这个时期西欧文化处于低潮，实际上是一场大倒退：学校教育名存实亡，希腊学问几乎绝迹，连许多从古代传下来的艺术和技艺也被忘记了。只有天主教修道院的修士们和少数有文化的俗人维系着不绝如缕的一点希腊和拉丁学问。这个时期的特点是残酷的暴力和强烈的极端宗教信仰。旧的社会秩序已破坏，封建主和基督教会统治了社会。

古罗马人始终没有走向抽象数学，仅仅满足于数学在商业和民用工程上的应用。然而，随着罗马帝国的衰亡以及由此导致的东、西方贸易的中断和国家工程计划的撤销，就连在这些方面应用的兴趣也减少了。

毫不夸大地说：在整个500年的黑暗时期中，西方除制定教历外，在数学上，除了把前人的最有价值的东西忘掉就再没有做过什么令人难忘的事情。他后来成了教皇西尔维斯特二世。

在黑暗时代，在数学史上还可以勉强提到的人寥寥可数：殉道的罗马公民博埃齐，英国的教士学者比德和阿尔克温，还有法国学者、教士热尔拜尔博埃齐在数学史上的位置在于：他的著作《几何学》和《算术》在好几百年中一直作为教会学校的标准课本。这些思想贫乏的著作竟被当作高水平的数学成就，这充分表明：在黑暗时代，在基督教的欧洲，数学这门学科已经可怜到什么程度。

在博埃齐的《几何学》一书中，除了对欧几里得《原本》第一卷的命题和第三、四卷的少数几个命题的陈述，及其在初等测量中的某些应用外，就再没有什么东西了，而《算术》一书，则基于四百年前尼科马库斯写的那本乏味的、半神秘的、但一度曾给予高度评价的著作。

博埃齐以他的这些著作和他的关于哲学的著作而成为中世纪经院哲学的奠基人。他的高尚理想和刚强正直给他带来了政治上的麻烦，并遭到十分悲惨的结局，因此，被教会宣布为殉道者。

比德，后来被尊为比德大师。他出生于英国的诺森伯兰，是中世纪最大的教会学者之一。他的许多著作中有不少是讲数学的，其中主要的是关于历法和指算的论著，但也缺乏令人瞩目的成就。

热尔拜尔，大约公元950年出生于法国的奥弗涅省，幼年时就显示出非凡的能力。他是第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒，并且有证据表明， 他可能曾把没有包含零的印度一阿拉伯数字带回到基督教的欧洲。据说，他做过算盘、地球仪和天球仪、钟，也许还有风琴。这些成就使他的同辈中有些人怀疑他将灵魂出卖给了魔鬼。尽管如此，他在教会中逐步提升，并最后于公元999年被选为教皇西尔维斯特二世。他被认为是一位知识渊博的学者，并且写了关于占星学、算术和几何学著作等。

就这样，数学走过了一段艰难的历程。似乎是一种中断，一种困倦，一种无奈，或者是一种在宗教重压下集聚力量到足以爆发的过程。

总之，那段时间里，数学真的很惨淡。于是，我们不得不得出这样的结论，极端的宗教信仰总是会给人们带来不幸，因为，在那样的背景下，人们不在追求科学，不在努力透过科学来看周边的世界，而是极力打压那些为此付出劳动的人，于是，世界被扭曲了。

不过，不要悲观，如果你坚信数学的生命力的话，随后，你很快就会看到，数学在欧洲，即将崛起。

通过《一千零一夜》让孩子知道阿拉伯数学

几天来天气总是变幻不定，雨点有一搭没一搭地敲打着落地窗的双层玻璃，偶尔，太阳会懒洋洋地探出头来，很快云层漂过，又把它遮住了。

夜幕降临了，对面楼上的灯火相继点亮，我站起身来看着一桌子摊得乱七八糟的书，无奈地摇着头。我在发什么愁呢？

如果说给孩子讲授古代中国的数学史很困难，那么告诉他们中世纪阿拉伯的数学更不容易，其中一个很重要的原因是缺少适宜的场景。缺少场景就好像你明明看见一座金壁辉煌的大厦，却苦于找不到进去的门时的那种感觉。我们说过，我教女儿数学和数学史的一个窍门就是一定要有能够引起孩子兴趣的 “氛围” 。 情急之下， 我只好仍然借助世界地形图， 先给女儿把那段时期的阿拉伯历史做个简单交待。这是必须的，因为我认为教给孩子任何知识都要尽量把背景说清楚，这对于孩子学会从宏观上把握问题很有好处。

对于欧洲来说，中世纪是黑暗的，但是，对于其他地区却并非如此，比如前面说过的中国，还有阿拉伯，在那个时期是这些国家或地区最为辉煌灿烂的时期之一。

我发现我身边不止一个人忽视了这样一个事实，阿拉伯帝国的兴衰是历史上最精彩的乐章之一。

“你知道阿拉伯在那里吗？”接下来的一个星期六，我就这样开了头。世界地形图已经摆在我和女儿的面前。

女儿一脸迷惑地看看我，她扭头看看世界地形图，并不急着回答，她知道我接下来就会说的。可是，我感觉她并不是很有兴趣，这并不是一个好兆头。

“那你一定知道阿拉丁的神灯吧？”

“知道，《一千零一夜》里的故事，爸爸，可好玩了——”女儿眼睛放亮，兴趣一下子来了。

《一千零一夜》又名《天方夜谭》，是一部脍炙人口的文学名著。它是中东各国、阿拉伯地区市井艺人和文人学士在几百年过程中，共同加工、提炼、编纂而成的一部优秀的民间故事集。它生动地描绘了中世纪阿拉伯帝国的社会生活，色彩斑斓，形象逼真，是一幅瑰丽多姿的历史画卷。由于它具有引人入胜的故事，流畅通俗的语言，奇妙的想像，对事物的鲜明爱憎和对理想的热烈追求，因而吸引着一代又一代的读者。

我女儿很小的时候就开始看卡通本的《一千零一夜》了。后来，我就把阿拉伯的数学穿插在《一千零一夜》的故事里讲给女儿听。

在穆罕默德于公元622年从麦加逃到麦地那之后的十年中，阿拉伯半岛上分散的、不统一的部落，以一种强烈的宗教热情合成一个强有力的国家。一百年内，在伊斯兰的绿色和金色旗帜下，武装力量把穆斯林星和月的统治和影响，扩展到从印度起经过波斯、美索不达米亚和北非直至西班牙的领土。哈里发政权的政敌促使帝国于公元755年东西分裂：一个哈里发统治巴格达，另一个统治科尔多巴。直到大约公元1000年，东部帝国还享有精神上的优越地位。但在那个时代，大部分东部领土遭到残酷的土耳其人的蹂躏。在公元1100年到1300年之间，基督教十字军东侵，把穆斯林逐出胜地。1258年，巴格达被蒙古人侵占，东部哈里发失势，阿拉伯帝国开始衰落。到12世纪末，西班牙人推翻最后一个摩尔人的统治，阿拉伯人失去他们在欧洲的立足点。

当阿拉伯人还是游牧民族的时候，他们有称呼数字的文字，但是没有纯数字“符号”。他们非常大方地采用而且还改进了印度的数字“符号”和十进位制， 而且引进了 “零” ， 开始把 “零” 作为一个数。 他们把这些数字“符号”表示整数和普通分数，而且创造性地用一根细细的横线来区别分子和分母，非常自由地使用无理数也是他们的贡献，这和我们今天的用法相差无几。在他们的数学课本上，还按照希腊格式使用阿拉伯数字。

自由地使用无理数使得人们可以给所有的线段和二维或三维的图像指定数值，也就是说可以用数字来表示长度、面积和体积。现在的人很难想像没有无理数的生活。

总之，很多方式我们今天还在使用。同样，他们也是世界上第一次使用“代数”这个名称的人。

代数这个词儿的含义，在古代希腊语里含有“复原”的意思，甚至在很长的一段时间里，人们把这个词儿也当作“接骨者”的称谓，比如谁的胳膊脱臼了，那么就要去找“接骨者”，也就是去找“代数”。这个使用方式十分普遍，在西班牙，你甚至可以看到这样的招牌：“接骨兼放血医师”，也就是说那里是一个理发店兼诊所，有医师可以帮助你身体复原。这些“医生”使用的方法包括“放血”，显然，那个时候，人们的医术极为有限。“代数”作为接骨术的名称一直沿用到16世纪。

不过，不知道是什么原因，他们尽管熟悉印度人的负数和负数概念，但是却抛弃了负数。很多人都认为这是一种倒退，就像人类历史上发生过很多次的倒退一样。

阿拉伯人在碰到多个未知量需要运算的时候，他们采取古代巴比伦和希腊人类似的方法，把几个方程含有的多个未知量简化成只含有一个未知量的方程，然后求解，这也是我们今天经常使用的方法。

他们也解多次方程，比如二次和三次方程，在解方程的时候使用代数方法，然后使用几何方法来证明。对于一些复杂的方程，他们还会使用圆锥曲线，用圆锥曲线来解三次方程可以说是阿拉伯人的创举，但是我们多少还是可以看到希腊人的影响。

用几何方法来证明代数方程的解具有意义，这个思路最终导致了解析几何的诞生，很多年之后，欧洲人完成了后面的工作。

阿拉伯三角学的发展使得阿拉伯数学家们构造出了更加精确的天文表格。月亮的圆缺似乎可以比太阳更方便地提供清晰的周期“节点”，也许是这个原因，古代的历法都以月亮的运动为依据，这也包括宗教，比如伊斯兰教。伊斯兰教宗教法规的精确性客观上促进了数学的发展。

伊斯兰的立法基于朔望月，每个月的第一天从新月后的娥眉月的出现开始。虔诚的教徒每天五次的祷告必须在固定时刻进行。祷告的时间是由太阳的位置决定的。例如，从中午时刻的影长算起，当一个物体的影长增加到该物体自身的高度时，就必须开始进行下午的祷告，而且，祷告时信徒们必须面向位于麦加的伊斯兰寺院内的圣堂进行祷告。关于祷告的次数、时刻和方位的三个法规都需要天体和行星及地理学的知识。一开始，他们通过观测来尽量满足法规的要求，并使用了从希腊和印度流传过来的表。阿拉伯人最大限度地改进了这些表和观测方法。从13世纪起，清真寺开始雇用能够熟练使用星盘、象限仪以及日晷的天文学家。

但是，除了这些，阿拉伯人在三角学上面没有什么更高的建树，几何学上面的情况也是如此。

在曼苏尔哈里发统治时期，婆罗摩笈多的著作大约于公元766年被带到巴格达，在皇室的支持下，译成阿拉伯文。后一个哈里发是哈龙·兰希，他从公元786年到808年统治巴格达，他因《天方夜谭》而为人们所熟知。在他的赞助下，几部希腊科学的经典著作被译成阿拉伯文，其中就有欧几里得《几何原本》的一部分。在他的统治时期，也不断将印度的文化引入到巴格达。哈龙·兰希的儿子马姆从公元809年统治到833年，他也是个喜爱科学的人，并且他本人就是一位天文学家。他在巴格达建立了一座天文台，并从事地球子午线的测量。根据他的命令，把希腊经典著作翻译成令人满意的译本这项困难的工作继续进行，《大汇编》被译成阿拉伯文，《几何原本》的翻译工作也完成了。 

希腊手稿，作为和平条约的一个条件，从拜占庭帝国的皇帝手里得到，然后由被请到马姆宫廷的叙利亚基督教学者们译出。在他统治时，许多学者写了关于数学和天文学的著作，其中最著名的是花拉子模写的关于代数学的论著和关于印度数字的书，它们于12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生了巨大的影响。一位后来的学者泰比特·伊本柯拉，作为物理学家、哲学家、语言学家和数学家而闻名于世，他完成了欧几里得《几何原本》的第一个真正令人满意的译本。

由他翻译的阿波洛尼乌斯、阿基米德、托勒密、狄奥多修斯等人的著作，被列为优秀译本。尤其重要的是，他翻译的阿波洛尼乌斯的《圆锥曲线》第五、六、七卷，我们今天看到的所有版本都是来自于他的译文。他还撰写了关于天文学、圆锥曲线、初等代数、幻方以及亲和数的著作。

10世纪最著名的穆斯林数学家或许是阿卜尔·维法，他生于波斯山区霍拉桑。他以翻译丢番图著作、把正切函数引进三角学以及对间隔为15'的正弦表和正切表的计算而闻名。他写过许多关于数学课题的著作。阿布·卡密耳和卡尔黑的著作写于10世纪和11世纪，他受花拉子模的影响，而他自己又影响到欧洲数学家斐波那契。卡尔黑是丢番图的学生，写了一部叫做《发赫里》的书，这在穆斯林的代数著作中是最有水平的。

对最深奥和最新颖的代数学作出贡献的也许是公元1100年左右的海亚姆，他还是一位诗人：海亚姆是霍拉桑的另一位数学家，作为著名的《鲁拜集》一书的作者而闻名西方世界。海亚姆还以他的很准确的历法改革而著称。

约瑟尔·埃德丁，生活于1250年前后，是古代较晚的一位学者。他也是霍拉桑人。他写了独立于天文学和第一部关于平面和球面三角学的著作。萨谢利以纳瑟尔·埃德丁的关于欧几里得平行公设的著作为基础，写了一本关于非欧几何的著作。约翰·沃利斯于17世纪把这些著作译成拉丁文，并将其中的内容用于他在牛津所作的几何学讲演中。

阿尔·卡西在十进制分数，即小数方面做过重要的工作，并且是我们知道的以“帕斯卡三角形”形式处理二项式定理的第一位阿拉伯作者 。

在穆罕默德之前，阿拉伯人用文字来写所有的数。后来因为要对所占领的那么广的地盘进行管理，便在一定程度上促使他们引进简洁的符号。他们有时采用位值制，但有一个时期，普遍使用像希腊爱奥尼亚人那样的字母数系。用的是28个阿拉伯字母。这些符号又被印度数字代替，并首先被商人和搞算术的人采用。

我们知道的第一部阿拉伯算术是花拉子模写的；后来许多阿拉伯算术书的作者都以它为依据。这些算术书，一般是解释、模仿印度算法的计算法则。

三项法，像许多其他初等算术法则一样，看来起源于印度，并且，这个名字实际上就是婆罗摩笈多和婆什迦罗给出的。这个规则，在头几百年中，曾被商人们高度评价，但它只是被机械地陈述过，从未说明理由，直到14世纪末才认识其与比例的关系。

在几何法代数领域中，穆斯林的数学家们做出的最好贡献，以海亚姆的三次方程的几何解为其顶峰。在这里，三次方程被系统地分类，并且一个根是作为一个圆和一个等轴双曲线的交点或两个等轴双曲线的交点的横坐标而得到的。

海亚姆排斥负根，并且常常没有找到所有的正根。三次方程是从对这样一些问题进行考虑提出来的：例如，正七边形的作图问题。

一些穆斯林数学家对不定分析感兴趣。例如，给出了下述定理的一个证明：不可能找到两个正整数，使其立方和等于第三个正整数的立方。这是费马著名的最后“定理”的一个特殊情况。

从某种意义上来说，阿拉伯人在几何学上所起的重要作用，主要是他们所做的保存工作而不是有所发现。全世界都感谢他们为译出大量令人满意的希腊经典著作所作的不屈不挠的努力。

阿尔哈岑，因与所谓阿尔哈岑问题相联系而载入数学史。这个问题是：从一给定圆所在的平面上的两个给定点，各作一条直线，相交于圆上的一点，使得在该点上与圆构成相等的角。该问题引出一个二次方程，这个方程被依希腊方式用双曲线和圆相交解出。阿尔哈岑出生于伊拉克南部的巴士拉，并且也许是最杰出的穆斯林物理学家。上述问题的提出与他的《光学》一书有关，这部论著后来在欧洲产生巨大的影响。

关于阿尔哈岑有一个悲惨的传说。他曾不幸地自夸：他能制造一部会控制和调节尼罗河每年一度的泛滥的机械。因此他被哈奇姆·哈里发召到开罗说明和验证其想法。他知道自己的设计非常脱离实际，怕哈里发发怒，只好装疯，因为那时对精神病患者特别保护。阿尔哈岑不得不小心翼翼地装疯，直到哈奇姆在1021年死去。

阿拉伯人在掌握希腊和印度的数学方面，在保存大量世界文化方面，是卓有成效的。巴格达的哈里发们不仅善于管理，而且提倡学术研究，邀请杰出的学者到他们0的宫廷来，并不计较他们的宗教信仰或者国别。许许多多的希腊和印度的天文学、医学、数学著作被辛勤地译成阿拉伯文，于是，这些著作被挽救了。后来，欧洲的学者们才有可能把它们重新译成拉丁文和其他欧洲文字。没有阿拉伯学者的工作，大量希腊和印度的科学就会在漫长的黑暗的中世纪中无可挽回地损失掉。值得赞美的是他们充当了世界上的大量精神财富的保存者：在黑暗时代过去之后，这些精神财富得以传给欧洲的后人。

阿拉伯人在那个时期的数学上的首创精神没有太多值得称道的东西，但是，他们涉及的范围很广，这一切绝大部分都是出于天文学的需要，所以，他们的数学家几乎都是天文学家，而天文学又是出于宗教的需要。阿拉伯人对于宗教是虔诚的，所以，任何宗教之外的事情都没有引起他们足够的兴趣。宗教本身不会推动人们对数学的直接兴趣，这也包括其他科学。世界上的任何宗教似乎都是这样，我真的不清楚，这些宗教在引领人们从事科学方面为何总不如他们在引领人们灵魂时那样成功。