孩子明白爆发之前总会有沉寂
14世纪相对地是数学上的不毛之地。前面是英法百年战争，随后，黑死病流行，扫荡了欧洲三分之一以上的人口；前者使欧洲在政治上和经济上发生毁灭性的动乱，后者使欧洲人口大量减少。
这时期最大的数学家是奥雷斯姆。他大约在1323年出生于诺曼底。他在经历了从大学教授到主教的生涯之后，死于1382年。他写了五部数学书，翻译了一些亚里士多德的著作。
在他的一本小册子中，第一次使用分数指数——虽然不像我们今天使用的样子；在另一本小册子中，他用坐标确定点的位置，预示了现代坐标几何学，在一个世纪之后，这本小册子得到多次印刷。
他还可能影响到文艺复兴时期的数学家，甚至包括笛卡儿。在一篇未发表的手稿中，他还得到了级数和，这使他成为无穷小分析的先躯者之一。
中世纪的欧洲数学主要是实用数学，但是纯理论的数学并没有全窒息。烦琐哲学家们的沉思导致关于转动、无穷、连续的概念精妙的理论化，所有这些都是现代数学中的基本概念。几百年的烦琐争论和诡辩，在某种程度上，堪称是从古代到现代数学思想转变的重要起因，并且，像贝尔所定义的，可以构成亚数学分析。
布雷德华丁肯定是个更接近于一般数学家的学者，他逝世前曾任坎特伯雷的大主教。除了关于连续和离散的基本概念及关于无穷大和无穷小的考察以外，布雷德华丁还写了四本关于算术和几何的小册子。
广泛而坚实的基础在哪里都是适用的
15世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占庭帝国的瓦解，难民们带着希腊文化的财富进入意大利。许多希腊经典著作，原来只是通过不怎么好的阿拉伯译本传播的，现在能从原始资料进行学习和研究了。
还有，大约在这个世纪中叶，改进了由中国引进的印刷术，彻底变革了书籍的生产条件，从而使知识有可能以史无前例的速度来传播。这为欧洲数学广泛而坚实的基础的建立提供了条件。在这个世纪末，还发现了美洲，不久，有人完成了环球航行。
回到数学上来，继续我们的话题。
15世纪的数学活动多半是以意大利城市和中欧城市纽伦堡、维也纳、布拉格为中心，而且集中在算术、代数和三角学方面。在商业、航海、天文学和测量学的影响下，数学主要活跃于新兴的商业城市。
对于孩子来说，有两件事要告诉他们，第一件是“印刷术”对于数学史的作用，因为，没有印刷术的发明和广泛使用，就没有数学的普及；另外一个方面是，经济的相对繁荣和人才的相对流动方向是一致的，这可以让孩子们知道在那里可以找到最好的数学。
按照年代的次序，我们先看看库萨。1401年他出生于摩泽尔的库萨城，并以这座城的名字作为他的名字。很多人没有注意到那些宗教领导人的出身。就各种社会组织来说，宗教组织高层领导人中出身贫苦的占多数。库萨就是个贫苦渔民的儿子，在教会中升得很快，最终成为红衣主教。1448年，他当了罗马总督。他只是偶然地成为一个数学家，并且成功地写了几本关于这门学科的小册子。他的主要功绩是在历法改革方面以及化圆为方问题和三等分任意角方面所作的努力。他死于1464年。
波伊尔巴赫是一位较好的数学家，他认为库萨是自己的教师之一。他在意大利作过数学讲演之后，定居于维也纳，使那里的大学成为他那个时代的数学中心。他写了一部算术和一些关于天文学的著作，还编了一个正弦表。这些著作的大多数，在他逝世前没有发表。他还曾着手把托勒密《大汇编》从希腊文译成拉丁文。
这个世纪最有能力，最有影响的数学家是缪勒，人们以其出生地柯尼斯堡这个字的拉丁形式来称呼他。他年轻的时候，在维也纳就学于波伊尔巴赫，后来被委任完成他老师对《大汇编》的翻译工作。他还把阿波洛尼乌斯、希罗和阿基米德的著作从希腊文翻译成拉丁文。他的论著《三角全书》大约写于1464年， 但是直到1533年才发表，这是他主要的著作，而且是欧洲人对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述。
雷琼蒙塔努斯到意大利和德国旅行了相当长时间，最后在1471年定居于纽伦堡。在那里，他建立了一个观象台，开办了一个印刷所，还写了一些关于天文学的小册子。据说他还制造了一个有振动翅膀的机械鹰，这在当时被认为是一个奇迹。
1475年，雷琼蒙塔努斯被罗马教皇四世邀请到罗马参加历法改革。不久，他突然死去，年仅40岁。他的死是个谜：虽然许多报道说他可能死于时疫，但也有传闻说他是被仇人毒死的。
在另一部著作中，他应用代数学和三角学解决给定四个边作一联圆四边形的问题。
15世纪最杰出的法国数学家是丘凯，他出生于巴黎，在里昂生活和行医。1484年他写了一部《算术三编》，但直到19世纪才出版。这部著作分三部分：第一部分讲有理数的计算，第二部分讲无理数的计算，第三部分讲方程论。丘凯承认正的和负的整数指数，并在他的代数中采用了一些缩写。他的著作，在当时来说内容太深，以致对他的同辈人未产生多大影响。他死于1500年左右。
1494年，《算术、几何及比例性质之摘要》，通常简称《摘要》。第一版问世，这是意大利修道院教士帕奇欧里写的。这部不受限制地参考了许多资料而编成的书，旨在作为当时算术、代数和几何的摘要。它不仅包括斐波那契《算盘书》中没有的东西，而且还采用很简洁好用的符号，它的重要性，正在于此。
对于许多人来说，往往忽视符号在一门科学中的意义，孩子更是得不到这方面的教育。我们需要让孩子知道，任何一门科学，如果算得上是一门科学的话，一定要有一套符号系统，而且这套系统内的各种符号之间要有合乎逻辑的关系。
在给孩子，尤其是小孩子讲符号的时候，家长经常容易犯的错误是定义不准确，这并不奇怪，因为很少有家长是专门从事数学教育的，而不准确定义的后果是孩子对数学的理解非常模糊，这对于孩子初中之后的数学学习影响很大。在这方面，我们主要依赖学校老师的教育，同时，家长必须要有这方面的意识。
我们还要让孩子知道，任何一门科学在其发展的历史中，它的符号的样式和定义还会发生变化，而一些具有“革命性”重大突破的著作往往伴随着新符号的产生或者对旧符号的重新定义。在这一时期，例如，我们现在用的“+”和“-”号，是维德曼（大约1460年出生于波希米亚）于1489年在莱比锡出版的一本算术书中第一次出现的。在该书中这些符号并不是作为运算符号使用的，而只是表示剩余和不足。这种使用方法即使在今天还可以看到它们的“影子”。
回过来，我们再说帕奇欧里的《摘要》。
《摘要》的算术部分，从基本运算和平方根的算法开始，表示得很完整。例如，单是乘法运算，就不少于八个方案。商业算术得到充分讨论，并以许多问题作为例证；还有关于复式簿记的重要论述；试位法则也被讨论和应用。尽管有许多数值错误，但这部著作的算术部分仍是当时实用的标准的典籍。
《摘要》的代数部分论述二次方程，并包括许多导出这种方程的问题，但对几何兴趣不大，和雷琼蒙塔努斯一样，代数被用于解几何问题。《摘要》出版之后，被忽视200年的代数，在意大利蓬勃兴起，在德国、英国和法国也进步很快。