让孩子从绘画中感悟数学

画画是孩子的一项天生的技能，所有的孩子都喜欢画画。我的感觉是，许多人在其一生中，孩童阶段画的画比他们长大之后画的画的总和还要多。

儿童画画还有一个特点，他们不用人教就会画，在成人看来信手涂鸦的东西，在儿童眼里却珍贵无比，他们小心收藏这些“艺术品”，决不允许大人随意处置。当然，大多数家长也很在意孩子的创造，并且能够津津有味地欣赏孩子的这些作品。不过，极少有家长把孩子的这些由点、面和线条组成的图画与影射几何相联系。

如果孩子画一条大路，路的两边有很高大的树木，孩子会画成什么样子？

如果孩子画的路是一样的宽窄，树也是一样的高矮，说明孩子画的是心中的一条林荫路。如果孩子画的路是近处宽而远处窄，路边的树木也随着路的延伸而逐渐变矮，那么他画的是眼里的景象。

儿童画新鲜、富有生气、活泼可爱，很大程度上是由于他们画的是心里的感受，而不是眼睛里的景象，所以，他们的颜色总是十分鲜艳，因为他们的心理很少 “灰色” ， 太阳这些象征光明的东西在画面中都会占据主要的位置，而且还会有光芒四射开来。这是任何一个饱经世事的人无法回到的心理年代。

你永远不要用透视、视觉焦点和比例这样的概念来要求儿童，因为他们画的不是客观世界的景物，而是描述客观事物在他们心中的映射。而一旦他们需要这样的概念的时候，意味着童年将要挥手告别，数学这类抽象思维的世界将要在他们面前开启大门。

这个阶段对于孩子非常重要，直接关系到今后孩子在数学、物理等一系列自然科学里的表现，我感觉对于多数孩子来说，这个阶段主要在9岁到12岁之间，随着发育和成长环境的不同而略有差异。

当我意识到这个问题的时候，我的女儿刚刚过了10岁生日不久，那一天我引导她画了一幅上面说过的林荫道的画。孩子画画的时候，我故意走开了，有时候孩子做事的时候会看看大人的反应，这在一定程度上会对孩子产生干扰。

结果呢？不出所料。

在开普勒去世后9年的1639年，一篇关于圆锥曲线的很有独创性但不被人注意的论文在巴黎问世， 《试论锥面截一平面所得结果》。它是德沙格写的，一位工程师、建筑师，还一度任法国军官。他1593年出生在里昂，大约1662年死于同一城市。这篇著作被其他数学家普遍忽略了，以致不久就被忘记了，并且所有出版过的本子都丢失了。

200年后，法国几何学家夏斯莱写他的称得上第一流的几何学史时，也没评价德沙格的著作。又过了6年，在1845年，夏斯莱偶然碰见这篇论文的一份手抄本，那是德沙格的学生拉伊雷抄下的。自此以后，情形大为改观，这部著作被认为是综合射影几何学早期经典著作之一。

有几个理由能进一步说明德沙格的小册子最初为什么被忽略。

一个原因是它被两年前笛卡儿引进的更容易使人接受的解析几何掩盖了；几何学者们普遍致力于发展这一新的、有力的工具，或是试图把无穷小应用于几何学。

另一个原因是，德沙格所采用的写作形式很古怪。他引进了70多个新术语，其中有许多来源于深奥的植物学，只有一个“involu-tion”（对合） 被保留下来。 有意思的是， 这一个术语之所以被保留， 只是因为它是被评论者批评和嘲笑得最尖锐的一个奇怪术语。

德沙格除了这一本关于圆锥曲线的书外，还写了别的书。有一本是关于如何教小孩唱歌的论文。但是，他之所以被认为是17世纪对综合几何最富于创造性的人之一，还是由于这本关于圆锥曲线的小册子。

这部著作从开普勒的连续性学说开始，导出许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点，以及透视的基本原理。这些课题是今天学过射影几何这门课程的人所熟悉的。

看来，德沙格只知道几种二次曲面；在欧拉1748年全部列举出来之前，许多这样的曲面没有人知道。在别处，我们还找到德沙格的两个三角形基本定理：

如果两个三角形——在同一平面或不在同一平面上——是这样放置的，即使得对应顶点的连线共点，则对应边的交点共线；并且，反之亦然。

德沙格三十多岁时在巴黎生活，曾通过一系列免费讲演，给他的同辈以深刻的印象。笛卡儿欣赏他的工作，帕斯卡曾一度把德沙格看作是他的大部分灵感的来源。拉伊雷花了相当大的劲试图证明：阿波洛尼乌斯所有的关于圆锥曲线的定理能用德沙格的中心射影法从圆导出。

尽管如此，这门新几何学在17世纪没有什么地位，一直潜伏到19世纪上半叶，下列这些人才使这一学科得到令人感兴趣的、大幅度的进展，他们是：热尔岗纳，蓬斯莱，布里安，杜班，夏斯莱和史坦纳。

就在德沙格因建筑师和绘图员对射影几何的需求而被激发的地方，这些后来的作者们，从射影几何的内在潜力出发促进了该学科的发展。