你有没有看出孩子的运动轨迹
我问过很多家长这个问题，回答并不令人满意。家长带着孩子在院子里玩耍，如果家长站着不动，孩子自由自在地在你的身前身后跑来跑去，这时候的你就像太阳，而孩子就像太阳的行星围绕着你转动，你注意过孩子运动的轨迹吗？如果你把孩子运动的点平滑地连接起来，你就拟就了一条椭圆形的曲线。这条曲线可能与某一颗行星的轨道十分相似。
如果你带着孩子在沙地，比如沙滩，你可以和孩子玩一个这样的游戏，让孩子随意地顺时针或者逆时针围着你跑一圈，然后，把孩子的小脚印连成一条闭合的曲线，在你站着的地方画上一个光芒四射的太阳，这样，你就完成了一个星系系统。随后，你就可以讲开普勒的故事，讲行星运动三大定律，当然，不要忘了告诉孩子正是有了开普勒的行星运动三大定律，牛顿的万有引力定律才可能应运而生。
运用归纳法来获得数学成果在数学史上要算开普勒最为著名了。这也符合孩子的思维习惯。孩子对于世界的认识就是在不断的积累和归纳的过程中来认识周围一切的。
统计学里面经常会使用归纳法来提炼事物当中带有规律性的东西，其他科学，现在也经常采用这样的方法。
在上个世纪初，中国有一位大学问家名字叫胡适，他曾经说过一句话：“大胆假设，小心求证。”400多年前开普勒的做法就是这样。
开普勒1571年出生于离斯图加特不远的地方，就学于图宾根大学，原来是想成为一个路德教教士的。他在天文学上的浓厚兴趣，使他改变了计划。
1594年，开普勒在二十多岁时，接受了奥地利的格莱茨大学讲师的职位。1599年，他成了著名的、但喜好争吵的丹麦天文学家第谷的助手。那时，第谷迁到布拉格任凯撒·鲁道夫二世的宫廷天文学家。
1601年，第谷突然死去。开普勒继承了他老师的职位，也接受了第谷关于行星运动的广泛而准确的30多年的天文学观测数据，当时没有人想到，这是一笔巨大的科学财富。
哥白尼的理论认为：行星在以太阳为中心的轨道上运转，开普勒对此深信不疑。开始，他在缺少数据的情况下，作了许多次高度想像力的尝试；后来，开普勒继承了第谷的关于行星运动的大量十分准确的观察数据。余下的问题是：求一个行星运动的模式，要让它与第谷的大量的观察数据准确地相符。
第谷的数据是如此之可靠，以致：与第谷的观察位置稍有偏离——即使是月亮的视直径的四分之一——的解也要当作不正确而被略去。于是，开普勒首先需要用其想像力猜测某些可能的解，然后以艰苦的毅力去攀登漫长的计算的高峰，以确认或否定他的猜想。
这时候，他采用了试错法，试图找出大量数据后面隐藏的规律性的东西。这是一种重要的、被经常使用的科学方法，也是人们认识世界经常使用的方法。
他做了成百次无结果的尝试，做了成令纸的计算。按照现在的计算，以16开本书本大小的纸张一令纸有面，他以经久不衰的热忱坚持了二十一年。
终于在1609年归纳出了行星运动的前两条定律，并且于十年之后的1619年，又陈述了他的第三条定律。这三条行星运动定律是天文学史和数学史上的里程碑，因为牛顿正是在证明这些定律的正确性的过程中创造出万有引力定律的。
开普勒的行星运动三大定律是：
1.行星在以太阳为焦点的椭圆形轨道上绕太阳运动。
2.连接行星与太阳的矢径——将行星与太阳连上的那条线，在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
3.一个行星在其轨道上运动的周期的平方与该轨道的半长轴——这里的半长轴就是行星与太阳的平均距离——的立方成正比。
对于多数家长来说，天文学不是他们的专业，行星运动三大定律即使学过，也早已“还给”老师了。没关系，我这里提供一个网址，在那个网页上你可以非常形象地看到这三大定律的演示。这个网址是：http://zh.wikipedia.org/wiki/，进入之后，输入开普勒定律查找就可以到达那个网页。
从第谷的大量数据中发现这些经验规律，是科学上曾做过的最值得注意的归纳之一。
我们不会知道一段纯数学在什么时候会得到意想不到的应用。休厄尔说过：“如果希腊人没有创造出圆锥曲线，开普勒就不能取代托勒密。”令人十分感兴趣的是：在希腊人导出圆锥曲线的性质之后1800年，才出现这一光辉的实际应用。开普勒在其1619年出版的《世界的和谐》的序言中，骄傲地作了下列议论：这本书是给我的同时代人，或者——那也没关系——给我的后代写的。也许我的书要等一百多年才能等到一位读者。上帝不是等了6000年才等到一个观察者吗？
开普勒是微积分的前驱者之一，为了计算在他的行星运动第二条定律中涉及的面积，他不得不采取粗糙形式的积分学。他还在其《测量酒桶体积的科学》中，应用粗糙的积分方法求出93种立体的体积。这些立体是圆锥曲线的某段围绕它们所在平面上的轴旋转而成的。其中有环形圆纹曲面和被他称作苹果和柠檬的两种立体；后两种立体是以圆的大弧和小弧的弦绕轴转动而成的。十分可能，人们猜测卡瓦列利后来以他的不可分元法使微积分精确化，就是受了开普勒这部著作的影响。
开普勒对多面体这个课题作出了值得注意的贡献。可能，他是认识反棱柱的第一个人。他还发现了立方八面体，斜方十二面体和斜方三十面体，其中第二种多面体在自然界中是作为石榴石晶体出现的。
四种可能的正星形多面体中，有两种是开普勒发现的；而另外两种是路易·泊素特在1809年发现的。后者是几何力学的一位先驱者。
开普勒解决了在给定顶点、过此顶点的轴和任意切线及其切点的条件下确定圆锥曲线的类型问题；并且，他把焦点这个词引进了圆锥曲线的几何学中。由此，圆心回到它本来的位置——焦点的一个特例。
他还建立了所谓连续性原理，实质上是提出了一个公设：在平面上无穷远处存在某些理想点和一条理想线，它们具有寻常点和线的许多性质。于是，他说明了：一条直线可被认为闭合于无穷远处，两条平行直线应被认为相交于无穷远处，抛物线可看作是椭圆或双曲线的一个焦点退到无穷远处的极限情况。由此你可以认为开普勒具有宇宙一样宽广的视角。
这个概念于1822年被法国几何学者蓬斯莱大为推广。那时他致力于对数学上到处出现的虚量，在几何中找一个“实的”存在理由。
开普勒的成就是伟大的，但是他的一生却充满不幸，也许是上帝不喜欢他揭示宇宙的秘密。
“上帝为每一个灵魂提供了选择机会，”美国诗人爱默生虔诚地说， “或者拥有真理， 或者得到安宁， 你可以任选其一， 但不能兼而有之。 ”
这对于开普勒来说很形象。四岁时，因患天花，视力受到严重损害。年轻时没有欢乐；其婚姻使他很不愉快，他最喜爱的儿子死于天花，他的妻子疯了；当格拉茨城落到天主教手中时，他的讲师职务被格拉茨大学解除；他的母亲被控告搞妖术，并且，他到处奔波，希望使他的母亲得以解脱刑事处罚，未果；他自己被谴责为反正统；而且，他的薪金经常被拖欠。据说，他的第二次婚姻比第一次更不幸，在十一个少女中谨慎仔细地挑选，结果选差了。他穷困潦倒，被迫靠占星算命增加收入。他死于1630年，那时他正在前去领取皇室拖欠已久的薪金的途中。
随着开普勒在讨要“工资”途中不幸辞世，德国人16世纪在数学上得到的幸运的进展就此画上了句号。三十年战争和后来在日耳曼国家中的躁动，使得17世纪的德国不适宜再获得科学上的进展。开普勒和莱布尼茨在17世纪初出色地成为这个时期仅有的第一流德国数学家。
科学进步暂时抛弃了这个国家，因为，它们需要使思想足以驰骋的富足、安宁和自由的环境。