第三部分 探索图形规律的时代

孩子一生都会与图形打交道

孩子在婴儿时期对图形就有所认识，涉及图形的数学部分通常是孩子比较感兴趣的内容，即使不算数学，事实上，孩子一生仍然都要与图形打交道。

与巴比伦相比，孩子更熟悉古希腊。他们通过各种方式或多或少地都看过或读过古希腊的神话故事。而在他们兴趣盎然地读着这些故事的时候，就是你和孩子谈论古希腊数学历史的最佳时机。当然，如果你准备这样做，你就首先需要至少知道古希腊的数学历史。当然，并不是每个人都熟悉这段历史，恰恰相反，多数人对于古希腊的数学成就所知了了，这样，下面这些对于古希腊数学史的概略介绍就变得很有必要。

随着巴比伦的数学时代渐渐远去，当时的数学家们曾经满意地为自己斟上一杯酒，他们似乎已经解开了数学的大部分谜团。他们掰着手指头如数家珍：含有辩证法的中国洛书，世界上最宏伟金字塔的建筑设计，汉谟拉比法典规范的社会秩序，埃及利用日晷来观测太阳的变化，在纸草上面记载的那许许多多的计算，尼罗河的灌溉系统使咆哮的洪水俯首称臣，在残酷的特洛伊战争中，设计巧妙的“木马”掩护着进攻者攻陷敌人的城池……他们或许还曾经自言自语：我们还需要什么……凡是能够计算的，能被设计的，能被建造的，能被征服的，能被称量的，能被预测的，他们都做到了。

在此过程中，他们提出了一大堆普遍公式。这些公式非常重要，非常神气，直到今天，我们还用六十进制来计算时间，即使是美国操纵宇宙飞船撞击彗星也用这个时间系统；我们还用他们设计的倒数表、平方表、立方表，甚至还有高次幂表，银行用这种表的计算结果毫厘不差地收取那些向他们借款的人的利息和付给那些存款人的利息。可以说，我们现在使用的计算器里面的大部分运算原理都是那个时代的数学家能够熟练运用的东西。仅存于世的兰登纸草和莫斯科纸草上面的计算已经让人叹为观止，就更别说那数不清的黏土板上面的数学问题了。

整个世界，从埃及、巴比伦出发，往西到欧洲大陆，往东到中国黄河中下游，到处散布若有所思的人们，他们正忙于使用他们发明的数字计算月亮的圆缺、计算太阳的出没、计算山脉与河流、计算宫殿与庙宇、计算奴隶与臣民、计算收获与损失。他们有着各种各样的头衔，但是工作却大同小异，数字与计算就是他们的最爱。

他们享用数学的成果，欣喜之余暗自思忖——从数字与计算的发源地埃及、巴比伦传来的消息——数学，除了使用之外，似乎已经没有多少事好干了。

让女儿尽早地熟悉数学名词

了解数学史的人都知道数学曾经被称作“巴比伦”。

我有时候会和女儿开开玩笑：“今天‘巴比伦’课上表现怎么样呀？”

“很好呀——”女儿拖着长声，学着我的口气“我举了好多次手，不过， 老师只叫了我两次。 ”

“嗯？”女儿知道，我这样就是要她说得详细一点。

“一次是读一道‘巴比伦’题，另外一次是回答一道‘巴比伦’题。”

我经常用这种办法去巩固我和她讲过的一些虽然现在不用，但是仍然具有丰富内涵的概念，尽可能早地熟悉数学名词。不知道这样的比喻是否恰当，就好像曾祖父虽然已经辞世，但是也要经常提起，这样就能保持那些曾经非常美好的记忆。 而对于数学来讲， “巴比伦” 辉煌的数学成就留给后人的就不仅仅是美好的记忆那么简单了。

在原始文明的环境中，人们需要充足的水源、足够的阳光和肥沃的土壤。从狩猎生活向游牧生活转移，肯定是很缓慢的。可能是在放牧野牛和野马时，人们产生了财产私有的思想，逐渐学会了把牛马赶进山谷中保护起来，并且为他们驱逐狼群、野兽。

正当农耕者的土壤文明在大河流域发展起来时，另外一种不同的生活方式——逐水草而居的游牧生活，也就是在冬季牧场和夏季牧场之间不停地迁徙的生活方式也发展起来了。游牧民的生活总体上说比农耕生活更辛苦，他们的生产有限，人数也少；没有永久性的居所，也没有统一组织的祭祀活动；他们的器具也少得可怜。但是你千万不要因此就认定他们的生活方式是落后的、极不发达的。这种自由自在的生活，在许多方面实际上比那些依赖土地生活的农民更加充实。每个个体更加独立，并非只是作为群体中的一份子而存在。在他们的社会生活中，首领的地位更为重要，而巫师则显得无足轻重。

游牧民迁徙的足迹遍及辽阔的大地，获得了较为宽广的人生观。他们亲眼目睹了各地的自然风貌，看惯了各种奇异的风土人情。他会和敌对的部落就纠纷之类的事情进行协商。他们走遍了高山深谷，自然比农耕者有更丰富的矿物知识，或许他本身就是一个冶金专家。青铜，特别是炼铁术，我与很多人的看法不同，很可能是游牧民族首先发现。在中欧，曾经出土过一批比人类早期文明还要早很多的铁器，而使用的铁显然是用矿石冶炼而成的。

另一方面，定居的农民们已经会做纺织品、陶器等其他许多有用的东西。这样，农耕与游牧两种生活的不同，必然会导致相互间的抢劫和贸易频繁起来。特别是在一面是沙漠一面是牧草的苏美尔，耕地旁一定常常有游牧民搭起的帐篷。正像今天的吉卜赛人一样，他们很可能相互间做生意，偷盗，或许还有诈骗。但他们肯定不会偷鸡，因为据说在公元前1000年之前鸡还没有成为家禽。他们往往会用珍贵的宝石、金属以及皮制品，如果是狩猎，就一定还有兽皮。他们会用兽皮交换陶器、珍珠、玻璃、衣服以及其他手工制品在苏美尔和古埃及的早期文明时代，有三个主要的地区和三个主要的民族以半漂泊半定居的方式生活。

大约在公元前2750年左右，闪米特民族中出现了一位伟大的领袖萨儿贡，他征服了苏美尔全境，而且还成了从波斯湾到地中海广阔土地的统治者。他目不识丁，但他的臣民阿卡德人却学会了苏美尔语，并把苏美尔语确定为官方和学术语言。他所建立的帝国在两个世纪之后衰落，在伊拉姆入侵后，被称为亚摩利人的新兴闪米特族人苏美尔取得了支配权，他们把两河上游一个名叫巴比伦的小城作为首都， 因此他们的帝国就被称为“巴比伦帝国”。伟大的汉谟拉比王巩固了这个帝国，并制定了历史上非常有名、也是最早的一部法典。

戏剧可以很好地再现历史，适当的场景和简练的对话非常适合孩子学习。对于孩子来说，如果不太强求孩子去把台词背得一字不差，戏剧就像游戏一样地吸引人。看看街头的孩子，他们会在没有任何人指导的情况下自由发挥地导演各种各样的戏剧。我很庆幸自己发现了这个规律，女儿也愿意和我在一起，她不认为我是有意通过这种方式教她学习，她只是认为我在和她一起玩耍，而很多知识就是通过这样的“游戏”不知不觉地完成了。 “巴比伦”的历史就是这样完成的。

五一节期间一个晴朗的日子，我们去郊游，在一片山谷我们就上演了这样的一出游戏。我用新鲜的柳条给孩子编了一个小帽圈戴到头上，她自己捡了一根小木棍作为她的武器或工具。开始，我们模仿游牧民族，我变成了代表一群羊的一只羊，山谷代表了两河流域巴比伦的广大区域；一会儿，我又变成了一匹马，她成了农夫，手中的木棍也从放羊的鞭子变成了掘地的铲子；最后，她颁布了汉谟拉比法典，我一下子又变成了规矩的臣民。再后来，她坚持要扮演那些巴比伦的数学家， 在小河边的湿地上画出一个个小方块当作巴比伦的黏土板，然后用她的那根小木棍在上面写下她知道的公式、计算、数学谜语之类的东西，随后，我就变成了她的学生，在她挥舞的教鞭——那根小木棍——下面高声朗读。

就这样，巴比伦几千年的历史就演绎完了，就好像她亲身经历过一样。

一般情况下，事前，我只需要记住几个重要的历史节点和大概的历史顺序，在游戏的过程中，我客串女儿的顾问悄悄地附在女儿的耳边告诉她， 然后由她来大声宣布出来， 我则立刻被打回 “原形” ， 而她的母亲始终扮演观众的角色，在适当的时候给以掌声鼓励。每当这时候，女儿会在脑子里搜索以前看过的电影或电视中的演员形象，来模仿或变换不同的人物角色，惟妙惟肖，让人忍俊不禁。我发现，这种时候，大人只需要适当地提醒就够了，让孩子自由发挥要来得更好。

后来，我发现8岁、9岁、10岁的孩子最喜欢这样的游戏。我有时候会想，教3、4、5年级的语文或数学老师要是把课文或数学的历史简单地编成这样的简短情景小话剧，是不是更能引起孩子的学习兴趣，学习效率是不是会有更大的提高呢。

当然，如果想比较好地通过“戏剧”的形式达到给孩子传授两河流域的数学历史的目的，我想，至少还要把后面这6页看完， 在这6页里，我描绘了这段时期发生在这一地区的数学的大概模样，尽管是大概，对于构想你的“剧本”来说，已经足够了。

在非洲和亚洲交界的地方，从地图上看，很有意思。黑海、地中海、红海、里海和波斯湾均匀地散布在它的周围，同时又恰到好处地没有使它成为一个孤岛。在这块远古时代美丽的地方，如今，散布着土耳其、伊拉克、巴勒斯坦、以色列、叙利亚这些征战不已的国家。不过，在很早以前并不是这样的政治版图。在这块地方有两条重要的河流，它们都发源于现在的土耳其境内，这就是底格里斯河和幼发拉底河。这两条河流从大高加索山脉的南面一路相依相伴地奔流而下，然后，进入波斯湾。我们习惯上将这一地区叫做两河流域。

这是一块充满希望的土地，不论北边山区的居民，还是南边沙漠中游牧的部落，都想把这块地方据为己有，排挤掉别人。山地人和沙漠游牧部落之间的长期争斗，导致了没完没了的战争。只有最强悍、最勇敢的人群，才有希望生存下来，这可以告诉我们，为什么两河流域养育了一个强悍的民族，他们创造了一个各方面都与埃及不相上下的文明。

从19世纪前期开始，在美索不达米亚工作的考古学家们进行了系统的挖掘工作，发现了大约50万块刻写着文字的黏土书板，仅仅在古代尼普尔旧址就挖掘出5万多块。在巴黎、柏林和伦敦的大博物馆中，在耶鲁、哥伦比亚的宾夕法尼亚大学的考古展览馆中，都珍藏着许多这类书板。书板有大有小，小的只有几平方英寸，最大的和一般教科书大小差不多，中心大约有1英寸半厚。有的书板只一面有字，有的两面都有字，往往在其四边上也刻上字。古巴比伦人所进行的算术计算与我们今天做的很类似。

在50万块书板中，约有400块已被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板。我们这里用“巴比伦”这个词只是为了方便，巴比伦人之外的，例如，苏美尔人、阿卡德人、卡尔迪安人、亚述及其他在该地区居住的古代人，都被归入“巴比伦”人。对于巴比伦人的数学成就的了解，应当感激学者们对许多数学书板所作的释疑和说明。

一直到19世纪前不久，还没有谁对楔形文字作出过成功的破译。在今天的伊朗的西北部，在贝希斯通村附近的大石灰石绝壁上离地面300英尺处刻的碑文，是欧洲的旅行者们发现的。1846年揭开这些书板刻写文字之谜的是罗林森，他把格罗特芬德早先提示的解释法完善起来。碑文和浮雕是刻在13块长150英尺，宽100英尺左右，有光滑表面的长方形石壁上的，用的是古波斯、埃拉米特和阿卡德的三种古代文字，他们采用的都是楔形符号。当我们读懂了挖出的巴比伦书板上的楔形文字后，发现这些书板的内容涉及那个时代的各种行业和生活的不同侧面，并且跨越巴比伦历史的许多时期。

保存至今的数学原稿可以分为三组：第一组大约在公元前2100年苏美尔文化末期；第二组数量很大，从汉谟拉比时代（公元前1792-前1750年），即第一代巴比伦王朝开始，直到大约公元前1600年；第三组内容丰富，大约从公元前600年直到公元300年，包括内布恰德内扎尔的新巴比伦帝国与随后的波斯和塞流西时代。第二组和第三组之间出现一段空白，正是巴比伦历史上的一个特殊的动乱时期。

我们对这些数学书板的内容在1935年以前了解很少；现在已有了一些了解，这主要归功于诺伊格包尔和当根的著名发现。由于解释这些书板的工作还在继续进行，在不久的将来，也许会有同样值得注意的新发现。常识性的知识和工艺知识的规范化和标准化，应该说是实用科学起源的最可靠基础。这种规范化的最早征候可以在公元前2500年代巴比伦国王的敕令中找到。当时，他们已经认识到统一度量衡单位的重要性，于是就用王室的权威，公布了长度、重量和容量的标准。

15世纪是一个大发现的时代，哥伦布想要找到去往震旦岛的路，却误打误撞地爬上了一个没人知道存在的新大陆。一个奥地利主教装备了一支探险队，打算朝东进发，寻找莫斯科大公国的所在地，这次旅行完全失败，因为，又过了一代人的时间，西方人才拜访了莫斯科。同时，一个叫巴尔比罗的威尼斯人探索的西亚的废墟，回来却报告说，他发现伊朗西南部有个城市庙宇的石头上，以及数不清的泥板上，刻着一种奇特的文字。

但欧洲当时正忙别的事情。直到18世纪末，第一个楔形文字，才由一个叫尼布尔的丹麦调查员带回欧洲。然后，又过了30年，一个叫做格罗特芬特的耐心的德国校长，才解读了头四个字母，D，A，R，SH，这是波斯国王大流士的名字。又过了20年，一个名叫亨利·劳林斯的英国军官，给我们提供了解开西亚楔形文字之谜的可行线索。

与解读这些楔形文字相比，商博良的工作就显得容易了。埃及人用的是图画，但两河流域较早的居民苏美尔人，想出了把话语写在泥板上的主意。他们完全抛弃了图画，发展出了一种新的图形，这种图形跟他们所起源的图形，看不出有多大关联。

两河流域的故事，就是连绵不断的战争与征服。先是苏美尔人从北边来了，他们是白人，本来住在山区。他们已经习惯了在山顶上崇拜自己的神。他们进入平原后，建造了人工的小山，在山顶上建起祭坛。

公元前4000年，苏美尔人就进入了两河流域。他们后来很快被阿卡达人征服了。阿卡达人是来自阿拉伯沙漠的众多部落之一，这些部落说一种公共的方言，被称作闪族人，因为以前人们认为他们是诺亚的第三个儿子闪的嫡系后裔。一千年后，阿卡达人屈从了亚摩利人的统治，这又是一个闪族的沙漠部落，他们的伟大国王汉谟拉比为自己在圣城巴比伦建了座豪华的王宫，向臣民颁布了一套法律，使巴比伦国成了古代世界中管理得最井井有条的帝国。

然后赫梯人席卷了这块富饶的土地，凡是带不走的都毁掉。他们反过来又被沙漠大神阿舒尔的崇拜者征服，这些人自称亚述人。他们让尼尼撒城成了一个令人心惊胆战大帝国的中心，这个帝国征服了整个西亚、埃及，向数不清的臣服民族征税。这种局面一直延续到公元前7世纪末，这时，闪族的另一个部落迦勒底人重建了巴比伦，使巴比伦成了当时最重要的都城。尼布甲尼撒是他们的国王中最著名的一个，他鼓励研究科学。我们现在的天文学和数学知识，其最初的一些准则，都是由迦勒底人发现的。

公元前538年，一支粗鲁的波斯牧人的部落入侵了这块古老的土地，推翻了迦勒底人的帝国。200年后，他们又被亚历山大大帝取代。亚历山大把“富饶谷地”这个古代众多闪族部落的熔炉，变成了古希腊的一个省。此后又来了罗马人。罗马人之后是土耳其人。两河流域，世界文明的第二个中心，成了一片大荒野，巨大的土丘讲述着古代的辉煌故事。

想要和孩子一块玩这样的戏剧游戏就一定要知道那段时期的历史。美国人房龙写的《宽容》或者英国人韦尔斯写的《世界简史》都是可读性很强的材料。如果想知道数学的历史，美国人克莱因的《古今数学思想》也非常不错。如果简单地了解一些梗概，我这里写的教教孩子应该足够了。

我们的数学资料主要来源于古巴比伦帝国。这个帝国存在于公元前1900年至公元前1600年，以及公元前4世纪的后亚历山大塞琉西王朝。前期显示出巴比伦人和阿卡得人的影响，而后期希腊人和巴比伦人的影响更加显著。由于整个时期巴比伦人的重要地位，数学也经常被叫做“巴比伦”。

古代巴比伦人用六十进位制，即以60为基位值的数系， 直到现在，当以分、秒为单位计量时间和角度时，仍被使用。事实上，我就是拿着一个“钟”开始给女儿讲述巴比伦的故事的。

我们现在使用的十进制数字体系是一种以10为基位值的体系。换句话说，在某个位的10个单位等价于相邻高位的一个单位。而一个数中，数字的位置决定它的大小。一直到公元前6世纪的新巴比伦帝国为止，零作为占位符号仍然没有出现。

巴比伦人与生俱来就是制表高手。他们给我们留下了各种精密复杂的运算表，如倒数表、平方表、立方表及高次幂表。这样的高次幂表对借贷利息的计算很有用。

在已分析过的巴比伦数学书板中，最引人注意的也许是普林顿322号，即在哥伦比亚大学普林顿收藏馆的第322号收藏品。该书板是用古代巴比伦字体写的，时间在公元前1900年到前1600年。诺伊格包尔和萨克斯于1945年首先对它作了描述。分析普林顿322号表明，应该对巴比伦的数学书板作仔细的检查。以前可能认为这样的书板不过是一些商业上的表格或记录而没有理会它们。

由于计算机的普及，数学运算表的使用在很大程度上已成为历史，但是它们在方便计算上影响极其深远，这可以追溯到那些年代。

巴比伦人对代数也非常精通，尽管代数问题和解决方法使用语言描述，而不是用符号来表示。他们利用本质上等同于我们的“出入相补原理”的方法解决了二次方程式。他们的计算过程的正确性基于一个矩形可以重新排列成正方形这一事实。一些高阶方程式他们也通过使用数字方法或将其简化成其他已知类型的方程式的方法而得到解决。

实际上，我们今天也仍然在使用这样的方法来解一些复杂的问题，这种解题的思路应该成为孩子经常使用的方法。

在几何领域，他们拥有全部平面图形面积的算法，并且用代数手法解决了许多问题。在这里，利用截取六十进位制小数的方法，数字化地处理了无理数。同样，巴比伦人在毕达哥拉斯出生的1000年前就频繁地使用了毕达哥拉斯定理。

旧巴比伦人数学不仅精密，而且对会计、金融、计重、测量等实际应用上也很有效。他们解决一些问题的思路说明了他们也有推理的传统，在考察巴比伦天文学时我们将看到这一方面的成果。

与埃及人非常相似，巴比伦人以为宇宙是一个密封的箱子，大地是他的底板。一旦中央耸立着冰雪覆盖的区域，幼发拉底河就发源于这些区域中间。大地四周由水环绕，水之外还有天山，以支撑蔚蓝的天穹。不过有些巴比伦星象学家已经模糊地认识到地球好像是一个球体。

巴比伦的天文观测可以追溯到公元前2000年以前。已知最早的准确记录是关于金星出没的记录。巴比伦空气清朗，从那时候起，僧侣们就坚持观察天空的景象，并把他们的观察结果记录在黏土板上。他们渐渐看出了天文现象的周期性，据公元前6世纪的一个文件说，到后来，他们已经能够事先计算出太阳和月亮的相对位置，因而也就有可能预测日食、月食了。这可以说是科学的天文学的起源。这些功劳应该属于巴比伦的三个学校：乌鲁克学校、西拔学校及波希帕学校。

问题是，巴比伦人在采用数学证明方面做到什么程度，他们确曾用正确的、有系统的步骤，解出了含未知量的颇为复杂的方程，但他们只用语言说出该做的步骤，没有说出做那一步的理由和根据是什么。几乎可以肯定地说，他们的算术和代数步骤以及几何法则，都是根据物理事实、边试边改以及从直观认识得出的结果，如果有些方法行之有效，巴比伦人便认为这就有充分理由继续加以采用。关于证明的想法，依据于决定取舍原则的逻辑结构的思想，以及问题的解在什么条件下存在这些方面的考虑，在巴比伦人的数学里都是找不到的。

无论是埃及人还是巴比伦人，他们的成就都是经验与知识的堆积。我们没有证据说明他们对自然现象曾做过耐心地、仔细地考察，也看不出他们有突出的概括和推理能力，但是，没有他们的开拓或者缺少他们知识的积累，科学甚至不能开始。而随后的希腊人则继承了埃及人、巴比伦人积累的这些“财富”。

我们来回顾一下希腊人出场之前的数学“财富”。

在巴比伦和埃及文明中，我们发现有整数和分数的算术，包括进位制计数法；有初步的代数和几何上的一些经验公式。几乎还没有成套的记号，几乎没有有意识的抽象思维，没有搞出一般的方法论，没有证明甚或直观推理的想法能使人深信他们所作的运算步骤、所用的公式是正确的。实际上，他们没有想到需要任何理论科学。除了巴比伦人偶然得出的少数结果外，在这两个文明里，数学并不成其为独立的一门学科，也未曾对数学本身进行过研究。它只是一种工具，形式上是些无联系的简单法则，用于解决人们日常生活中所碰到的问题。他们肯定没有在数学上做出什么能改变或影响生活方式的大事。虽然巴比伦数学比埃及数学高明些，但我们对两者至多只能说他们表现出一些活力，还谈不上什么严密性；在某种程度上，他们的毅力超过他们的才力。

我们可以大致地勾画一个轮廓，这个时期的数学基本上是我们现在九年制义务教育中间小学的数学内容，所不同的只是现在定义更加明确，符号更加规范，规则更为统一，运用更为广泛。

凡作评价总得有个标准。把这两种文明同其后的希腊文明相比可能并不公允，然而却很自然。埃及人和巴比伦人好比粗陋的木匠，而希腊人则是大厦的建筑师。

尼罗河与河边的莎草

是大自然赐予了我们一切，也包括最早的“纸张”，这使得早先人类的数学成果得以流传。

“尼罗河长流，迤逦千万里，带给埃及永恒的生命……”这是细川知荣子在《尼罗河女儿》中的吟唱。

金字塔的故事是吸引孩子的故事，尤其是金字塔之谜不知道迷住了多少孩子。家长应该知道，这也是给孩子讲古埃及数学的大好时机。

尼罗河发源于非洲大裂谷，纵贯非洲大陆东北部，与我们大多数中国人所熟悉的河流走向相反，它从南向北流淌，途经布隆迪、卢旺达、坦桑尼亚、乌干达、埃塞俄比亚、苏丹、埃及，跨越世界上面积最大的撒哈拉沙漠，最后注入地中海。

了解这些并不难，找一份世界地图，让孩子自己去找是最好的办法。孩子喜欢这样的活动，找起来也特别的卖劲。

“找到非洲了——啊，您看——”

“我找到埃及了——不，这里——”

“找到尼罗河了——嘻嘻——”

捷报一个个传来，女儿兴奋得手舞足蹈。

“真好，考考你，”我想让女儿知道“江河东流入大海”只是河流走向的形式之一，“你看看尼罗河水是往那个方向流呀？”

“向东流。”女儿不加思索地回答。这不怪她，因为她只见过向东流的河流，所有的童谣里清一色的也是“东流奔大海”的说法。

“你再仔细看看。”女儿俯下身，她面前是我给她买的世界地形图，只要仔细看，回答这个问题并不难。

“上北下南——左西右东——”女儿伸出一个手指头比划着，嘴里念叨着我以前教给她的分辨地图方向的口诀， “是从南向北流。 ”

“怎么会这样！”女儿有些懊恼，这个发现动摇了她以前形成的河流走向的全部认识。

“其实——”看孩子已经把心静下来了，我继续说道，“除了向上，河流的走向朝着哪个方向的都有，这是地球引力的作用。尼罗河流域是南高北低，所以河水就往北流了……”

我用看地图找埃及的方式开头，一方面增加了女儿地理方面的知识，更主要的是让她对我随后要给她讲的古埃及数学感兴趣。

古埃及时代，有一种生长于尼罗河泛滥后所形成的池塘和沼泽地里的草，可用来造纸。把这种草沿纵剖面劈成小条，把它摊开平放在光滑的木板上，然后捣碎晒干，就成了黄色的纸页，粘成一个长卷，用来写字，叫做纸草，这是人们用植物作为书写材料的最早记录。

同很流行的说法相反，古代埃及的数学并没有达到巴比伦数学那样的水平。这可能是由于巴比伦经济的发展速度较快。巴比伦处于许多大型商队的必经之地，而埃及则与外界接触较少。相对比较平静的尼罗河，用不着像更不稳定的底格里斯河和幼发拉底河那样必须施以巨大的工程，加以精心的管理。

尽管如此，直到最近辨认出这么多巴比伦数学黏土书板之前，在很长时期内，埃及曾是古代历史研究的最丰富的宝库。其原因就在于埃及人对他们的死者怀着崇敬的心情，以及这个地区的气侯异常干燥。前者使得他们修建了经得起时间考验的坟墓和庙宇，其壁画与雕刻极其丰富多彩，后者则在保存许多纸草片和实物方面起了主要作用，要不然这些东西早就处于分子状态了。

莱登纸草的发现以及1877年艾森劳尔对它所作的解释，对我们了解埃及的数学有相当大的帮助。这个文件上有许多标题，例如《渗入事物的准确计算》、 《生活知识》、 《玄机释义》、 《秘密大全》等。 发表日期大约是在公元前1650年。

在这份纸草纸上写书的人，是一位名叫阿摩斯的僧人。据这位僧人说，上面的内容又是从公元前2200年以前的十二王朝一位国王时代的旧卷子上转录下来的。纸草书上记有关于分数和普通算术四则运算的一些说明，乘法的积使用屡次相加的方法得到，那时候，他们还没有乘法是加法的简便运算的概念。纸草书上还记载有一些测量的规则。

这个文件表明埃及人已经发明了解决初等代数问题的方法。这些纸草表明，埃及人在几何方面也能解决某些有实用价值的问题。他们提出了计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、石料和其他建筑材料多寡等的法则。这些内容基本上是现在小学3年级之前教授的内容，在孩子经历过数“苹果”的幼儿阶段之后，把古埃及的数学背景展现给孩子是一个不错的选择。如果再给孩子看一些古埃及的图片那就更好了。

学者康托尔后来对上述莱登草书中的问题做过如下解释：“一份财产包括七间房；每间房子有七只猫；每只猫吃七只老鼠，每只老鼠吃七个麦穗，每个麦穗能生产七赫克特谷物。问在这份财产中，房子、猫、老鼠、麦穗和谷物（以赫克特计）总共有多少？

然而，历史学家康托尔在1907年对此作了一种似乎更加有趣、更加合理的解释。他把它看作是中世纪民间流行的一个问题的古代先导；而这个问题曾由斐波那契于1202年在他的《算盘书》中作了描述。他这个问题，在后来还有一个人们较熟悉的说法，这就是一首古老的英国童谣写道：

“有七个老妇人在罗马的路上。每个人有七匹骡子；每匹骡子驮七条口袋；每只口袋装七个大面包；每个面包带七把小刀；每把小刀有七层鞘。在去罗马的路上，妇人、骡子、面包、小刀和刀鞘，一共有多少？”

我赴圣地爱弗西，

途遇妇女数有七，

一人七袋手中提，

一袋七猫数整齐，

一猫七子紧相依，

妇与布袋猫与子，

多少同时赴圣地？

这也许就是世界上被保存下来的口传谜语之一。我让女儿读这个歌谣，她显然对这个歌谣比对歌谣的数学内容更感兴趣。一遍遍的还变换着不同的声调。等到孩子玩累了，我借此机会给她讲了阶乘的概念。显然，这是7的阶乘——7！，这在阿默斯抄下它之前就是个老问题了，并且比斐波那契把它编入他的《算盘书》的时间要早三千多年。

大约一年以后，教我女儿五年级数学的黄老师在十一期间给孩子们布置的数学作业有一项是每人用A3纸出一份数学小报，女儿竟然还记得这个古老的英国童谣， 她把它连同其他一些内容， 写在她的数学小报上 “发表”，这期小报后来被贴在宣传栏上，展示给其他同学看。

纸草书是保存古埃及数学成就的主要文件。这些文件的图片很容易找到。

公元前1850年，这是莫斯科纸草书书写的大致年代。这个数学原件中包含了25个问题，这些问题在编辑时就早已是老问题了。这份纸草书 ， 于1893年在埃及被俄国收藏家戈兰尼采夫买得，因而又称做戈兰尼采夫纸草书，现在被保存于莫斯科美术博物馆中。该纸草书的内容连同其编辑说明于1930年发表。纸草书大约有18英尺长，1英尺宽。

兰德纸草书——也被称为阿默斯纸草书——大约书写于公元前1650年，上面的数学原文带有实用手册的性质，并且包括抄写者阿默斯用僧侣字体从更早的著作中抄写下来的85个问题。这一纸草书是苏格兰的埃及学家兰德于1858年在埃及购买的，后来为英国博物馆收藏。

这一纸草书和莫斯科纸草书是我们汲取古代埃及书面数学知识的主要来源。兰德纸草书发表于1927年，大约有18英尺长，1英尺宽。在此纸草书到英国博物馆时，它没有原来那么长，而且被分成了两片——实际上中间那片遗失了。在兰德买到纸草书的大约4年以后，美国埃及学家史密斯于1906年在埃及买到一份纸草书——他是把它当作医学纸草书买到手的，后来，史密斯把它交给了纽约历史学会，在那里，古物收藏家们发现：

它是东拼西凑的、骗人的东西，并且在那些骗人的东西下面覆盖遗失了的那片阿默斯纸草书。该学会于是把该纸卷交给英国博物馆，使阿默斯的著作得以完整。

兰德纸草书是研究古代埃及数学的主要来源，内容很丰富。它讲述了埃及的乘法和除法，埃及人的单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。

公元前1350年左右的罗林纸草书，现在保存在卢佛尔博物馆，载有一些精心制作的伙食账，上面的数字表明当时实际上曾使用过很大的数目。

公元前1167年，是哈里斯纸草书产生的年代。它是拉美西斯四世为他登基准备的一个文件，其中表彰了他父亲拉美西斯三世的伟大功绩。

这份纸草书的其他部分是寺庙财产一览表，为我们提供了古埃及实际账目的最好例证。

在我们今天的杂志中不时出现的许多难题，有好些与中世纪的相似，其中的一些问题能追溯到多远的历史时代，现在还不能确定。我们对于古埃及的数学成就主要的证据有这样的一些：

在牛津的一个博物馆中陈列着一个公元前3100年埃及王室的权标。这个权标上用埃及象形文字写着几个以百万和十万计的数目，这些数目是记载一次胜仗的战绩。

最早的金字塔建立于公元前2600年左右，显然它必然要涉及一些数学和工程问题。这个建筑物用石头200万块以上，每块平均重2.6吨 ，非常仔细地砌在一起。这些石块是从尼罗河对岸的砂岩采石场运过来的。室顶是用54吨重的花岗石做成的，27英尺长，4英尺厚。这些花岗石是从600英里以外的采石场拉回来，又放到离地面200英尺高的地方的。据调查报告称：金字塔正方形底边的相对误差不超过1/14000， 四个直角的相对误差不超过1/27000。但是，当我们知道这个工程是由十万劳动大军花三十年时间完成的时侯，上述惊人的统计数字所暗示的工程技巧就大为逊色了 。

坐落在吉泽沙漠中的三个金字塔中最大的一个金字塔就在今天的埃及首都开罗南面不远。这巨大的建筑物都是王室的坟墓。埃及人相信：只要尸体保存得好，来世就会好。尸体防腐技术因此得以发展；把贵重的珍宝和日常生活用品放进坟墓也是为了来世用。

现在差不多还保存着八十个金字塔。宏伟的金字塔被人们称做古代七大奇绩之一。

在柏林博物馆收藏的一套铅垂线和标尺被认为是公元前1850年的遗物，它是现存的最古老的天文仪器，当然，它也可以用来进行一般的测量。

现存最大的方尖塔，它比底比斯的太阳神庙修建得还早，经过考证，大约是公元前1500年的建筑。它有105英尺高，其正方形底的边长为10英尺，重约430吨。

柏林博物馆有一个公元前1500年埃及的日晷，它是这个时期的遗物，也是至今尚存的最早的日晷古代埃及还有一些蕴涵工程技巧的伟大建筑：拉美西斯二世的纪念碑在阿布辛比勒，狮身人面像竖立在吉泽宏伟的金字塔附近，太阳神庙在卡纳克（拉美西斯二世于公元前1200年后不久完成该庙之大殿，该大殿的柱子有78英尺高）。

比上述年代晚一些的古埃及的原始资料表明，无论在数学知识上或是在数学技巧上都没有多大进展。事实上，有些实例表明确实还存在着退步现象。

我们阅读古埃及象形文字和简化的古埃及象形文字的能力，来自坎波连在19世纪对罗塞塔石板上的文字的成功破译。这是块表面光泽的玄武岩石板，是在1799年拿破仑的不幸的埃及之战时，法国的工程师们在尼罗河三角洲靠近罗塞塔支流处挖炮台地基时发现的。这块石板有3英尺7英寸长，2英尺6英寸宽，并且碑文书写了埃及象形文字、简化的埃及象形文字和希腊文三种文字。因为学者们能读懂希腊文，这块石板就为人们破译古代埃及的文字提供了线索。此石板刻于公元前196年，在法国被英降服时，作为战利品的一部分，被送到英国，现在放在英国博物馆内。

埃及人从未发现过一个实用公式，也没有证据说明他们对日常生活以外的问题感到过什么兴趣。埃及人似乎只要自己的数学知识能应付日常生活中的问题，就已经感到心满意足了。建筑师和测量员的需要，要求有初步的几何知识，但没有证据说明，埃及人曾对几何图形的性质有过什么兴趣，更不用说有什么东西能促使他们去证明自己所用方法的正确与否。

虽然如此，他们在建筑活动中达到的精确度还是非常高。在基奥普斯王朝时代——公元前2900年左右——大的石灰石石块组成。雕刻这些石块的精细度是相当惊人的。金字塔本身建筑在一个非常接近于正方形的基座上，基座每边的平均长度是755.79英尺，正方程度和水平程度的平均误差微乎其微。塔基每边的取向是一个明显的证据，说明埃及的占星家曾作过非常仔细的观测，其中有两边差不多是指向正北和正南，另两边的设计与垂直线的偏差至多为3厘米，这应当说是非常惊人的成就。

和上古时代的许多其他民族一样，埃及人似乎已熟悉这样的事实：如果三角形三边的边长与3，4，5三个数成正比，则此三角形是直角三角形。但是，没有可靠的证据说明他们在建筑活动中使用过。

在连小小一块良田国民都不能忽视其耕种的国家里，在一个土地所有权的观念大大关系到所有者切身利益的国家里，测量技术会显得越来越重要。

基于这一事实，埃及人在这个数学分支中必然会得到某些显著成果。尼罗河周期性泛滥之后为了重划地界，需要有高度发达的土地测量技术。希罗多德说道，为了使征收赋税公平合理，萨斯特雷斯曾将埃及的土地划分为相等的矩形小块。然而，由于尼罗河周期性的泛滥，扫除了这些小地块的界限，因此不得不派测量员去重新校对纳税额。莱登纸草上面记载了19个关于土地面积和谷仓容积的问题，这些问题都以惊人的准确被计算出来。纸草的第三片记录了如何去确定正方形和矩形、三角形和梯形，以及能分割成这些形状的土地面积。

关于圆面积的计算，埃及人的计算结果比上古时代任何其他民族的计算结果都更准确，这从莱登纸草中的一个例子可以看出。这个例子说明他们知道圆的周长与其直径之比是3.16。

埃及人还知道如何计算圆柱体和直棱柱的体积。许多问题中计算了这些形状的仓库的容积。但是，他们最惊人的成就却在于两端是正方形的截棱柱体体积的计算。莫斯科纸草上清楚地说过这个问题。

土地面积的问题明白地指出这样一个史实：埃及人已经熟悉二次方程。

和所有上古时代的民族一样，埃及人很早就感到有必要建立度量时间的方法了。但是，是巴比伦人和亚述人奠定了现代时间度量制度的基础。

虽然埃及天文学几乎毫无疑问是以巴比伦的天文学为基础的，但是建立在天体运动基础上的实用历法的引用，则应看成是埃及人的杰出成就之一。早在公元前4241年，祭司就建立了每年十二个月，每月三十天，另外再加五天节日的制度。

看来，埃及人对数学的主要贡献是：

1.完成了基本的算术四则运算，并且把它们推广到分数上；他们已经有了求近似平方根的方法。

2.他们已经有了算术级数和几何级数的知识。

3.他们已能处理包括一次方程和某些类型的二次方程的问题。

4.他们几何知识的主要内容是关于平面图形和立体图形的求积法。

5.他们在求出圆面积以及把圆分成若干相等部分的问题上已经有了正确的知识。

6.他们已经熟悉比例的基本原理，某些人还从其中看到了我们今天应称之为三角函数的那种观念的萌芽。

很早的时候，埃及的文明就达到比较发达的阶段：车轮和帆船的发明便利了交通，天平便利了称量，织布机便利了纺织。他们似乎还制定了确定的年历。实用工艺在十八王朝（即公元前1500年左右）所取得的成就最大。不过，当时人们还没有想到知识有长期地和缓慢地向前发展的可能性。他们似乎认为，他们的祖先若是全靠人类自身的智慧，永远也不可能发明语言、文字、建筑和计算，还需要有神的干预。

不管怎样，几乎可以肯定地说，草片文书中所载的问题是当时的商业人员和行政管理人员应该解决的那类问题，而求解的方法则是从工作经验中得出的实用法则。谁也不会相信埃及人有一种依据可靠公理形式的演绎结构，来证明他们所用的法则是正确的。公理形式的演绎结构还要等好多年才会被人们使用，只有它才能真正奠定数学的科学基础。