第二部分 认识数量的时代
不知道起点的故事
所有的故事都有开头，如果非要让你找出一个没有开头的故事，数学完全可以算上一个。
“我们现在知道的数学史，是一个找不到起点的故事。”有那么一次，我就是这样和女儿说的。
人们只是粗略的知道，地中海沿岸是数学的发源地，并且在那里长大成人。可是，人类学家告诉我们，非洲才是人类的摇篮，在人类呀呀学语的时候，难道没有数学？
我一直固执地认为，数学或者是数字的概念一直伴随着人类，或许只仅仅是对多与少的分辨，然后是多多少或少多少的区别，循着不断细化的脉络发展下来。如果不是地球的马虎，我们完全可以找到更多的证据。
遗憾的是，当时的人们似乎更愿意对后人保留一点神秘感。不过，偶尔也会有些惊喜发现。在人类100多万年的历史长河里，我们已经发现3.5万年前的数字证据。
因为人类在把大小、形状和数的概念系统化方面所作的最初的也是最基本的努力，被普遍认为是最古老的数学，所以，人们极为重视下面提到的证据。
数字记录的最早物证是在南部非洲斯威士兰王国出土的一块刻有二十九道清晰的V字形刻痕的狒狒的腓骨。这一记录的年代比较一致的看法大约是公元前3.5万年。它与纳米比亚现今仍在用于记录时间变迁的“日历棒”类似。
在欧洲也找到了新石器时代的骨头制品。在现在是捷克共和国的土地上，考古学家曾经找到了公元前3万年的一根幼狼桡骨，那上面刻有两列五道一组共55道V字型刻痕。有人猜测那是一个账簿，也有人猜测是俘获猎物的记录。
最令人感兴趣的一个发现是所谓的“伊尚戈骨”，被发现于非洲乌干达与扎伊尔这两个国家之间的爱德华湖边，年代大约是公元前2万年。它好像不单单是记账棒。考古学家用显微镜分析，发现上面显示出了似乎与月相相关的痕迹。在那个时期，由于人们需要知道哪些夜晚比较明亮，便于捕捉猎物，也许，还有出自宗教信仰的需要，预报满月是重要的。承认这一点就不难理解为什么记录月亮的轨迹应该是新石器人非常关心的事情。实际上贯穿于天文学、占星术和宇宙学，对数学的发展影响最大的可能就是天体。
考古学家 数的概念和计数方法还在有文字记载以前就发展起来了提供的证据表明，人类远在5万年前就采用了某种计数方法，但是，关于其发展方式则多半是揣测的。虽然如此，想像它大概会是怎样发生的并不困难。
人类在最原始的时代就有了数量的意识，至少在为数不多的一些东西中增加几个或从中取出几个时，能够辨认其多寡。因为研究表明：有些动物也具有这种意识。
随着社会的逐步进化，简单的计算成为必不可少的了。一个部落必须知道它有多少成员、有多少敌人；一个人也感到需要知道他羊群里的羊是否少了。或许最早的计数方法是使用简单算筹以一一对应的原则来进行的。例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个指头。还能够用下述方法计数：集攒小石子或小木棍；在土块或石头上刻道道；在木头上刻槽；或在绳上打结。
后来，逐渐产生了各种各样的语言，其中也包括作为对应于为数不多的东西的数目的语言符号。以后，随着书写方式的改变，逐渐形成一族代表这些数目的书写符号。人类学家关于现代原始人的研究报告表明了上述想像中的发展过程是合理的。
在人类历史的黎明时期，文明挣脱蒙昧，首先从尼罗河、被称作两河流域的幼发拉底河、底格里斯河以及印度河和黄河的几条大河流域中诞生出来。居住在这些流域的各民族当中，我们知道得最多的是埃及和巴比伦的人民，这主要是靠了希腊历史学家著作中的记载。从这个来源获得的资料本来是极少的，但是，在其他地方对其他民族的了解所获得的资料更少。贸然地否定欧洲、美洲那些地方生活的民族对数学所作的贡献并不明智。所以，我们所说的历史只是就我们所掌握的资料而言。但作为一种普遍的规律，我们发现人类远古的文明总是与大江大河联系在一起。对于那个时候的人们来说，江河的水面就像现在的公路一样畅捷，而充足的水源也使远古的人们过得更加惬意。
大约在公元前5000年，中亚细亚有一个爱好和平的、有艺术修养的并且有才干的民族离开了他们的家园，落户在美索不达米亚。他们和当地居民混合起来产生了一个新民族，叫做苏美尔族。在他们手里，文化达到了比往日更高的水平。他们居住在波斯湾尽头的商旅必经之地，所以养成了从事商业的兴趣，这迟早要导致对数学知识的需求。从他们发明的灌溉系统可以明显看出，他们已经具有相当可观的工程技能。甚至在今天，仍可看到巨大运河网的遗迹，有些运河的规模相当大，不仅可以灌溉土地，而且还可以提供适当的排水系统以抵御洪水的危害。
从他们留下的珍贵美术品来看，他们已经有不小的艺术才能。在外来者当中，有些人定居在美索不达米亚，另一些人则在埃及河谷找到了新居，他们把苏美尔人的影响和知识带到了那里。这里的文化曾达到了很高的水平，数学和医学尤为突出。
同时，在现在的印度和巴基斯坦的印度河流域的中上游也产生了哈拉帕文化。由于研究了这些原始人类遗留下来的工具和武器，考古学家已能想像出他们的一些生活习惯。目前的证据还比较零散，尽管如此，仍有确凿的证据说明初等数学已在他们的生活中起到不小的作用。从实物交易中产生了计数和加法以及度量衡方面的基本运算；在装饰品的制作中逐渐发展其对简单几何图形的了解，这些装饰品现在还可以在他们的庙宇和岩洞的墙壁上看到；土地测量显然用到了一些几何图形，这无疑要进一步促使一定的几何知识的获得；另外，依靠农作物生存的人需要有某种形式的历法来指示季节循环。
在上面提到的肥沃原野上，有两个强大的王国十分繁荣。每个王国的人们都逐渐发展出了一套技巧，经过几千年，至今仍使人感到惊奇和钦佩。
古代巴比伦和古代埃及在政治历史方面有相当大的差别。前者敞开大门，任凭邻近的民族侵犯，结果是：每当帝国交替之际，总是处于混乱状态。另一方面，古代埃及与外界处于隔离状态，因而得到保护，不受外来的侵略，统治很稳定，在朝代更替时也不间断，那一连串的金字塔就是明证。
这两个社会本质上是僧侣政治，是由有钱有势的官僚与寺庙的僧侣亲密合作统治的。在那里，大多数手工操作由人数众多的奴隶阶级去做。
人数众多的奴隶的来源不大一样，在巴比伦，总是在一个帝国被外来侵略者推翻的时侯；在埃及，则来自蓄意入侵而又失败的外国军队。巴比伦的奴隶阶级主要从事的工作是：挖掘和维护灌溉系统和建筑宝塔；在埃及，则是：建立寺庙和金字塔。基础的测量和工程实施，连同伴随它们的数学，被人们创造出来，用以帮助工程的设计与制造。
在很多的数学史书籍中，人们习惯把巴比伦的数学放在埃及数学的前面，这一方面反映了，巴比伦留下来的数学资料比埃及要多一点，因为他们使用的记录数学研究的材料易于保存（埃及使用的是纸草，而巴比伦人使用的是黏土板）；另一方面反映了巴比伦对于古希腊的影响要比埃及大，因为他们在地理位置上更为接近。在远古时期空间距离是一个非常重要的因素。但是，我认为既然人类的迁徙路线是从非洲走向世界各地，那么，埃及就是一个必经之地，而作为文明的策源地，埃及就不可避免要充当一个非常重要的角色。