急刹车引出来的故事
自从我给女儿讲了泰勒斯惩罚骡子的故事之后，女儿就一直缠着我讲后来的数学史上的故事。这一天，机会终于来了。
我每天早上送女儿上学，从西直门到人大附小开车要20分钟，早上6点50分出发，一般7点10分就能到达，女儿坚持要在这个时间之一给全班开教室的门，为此，宁可 前到校，这是因为她喜欢这份工作每天少睡将近半个小时。
汽车驶出小区不远就进入主路，并线，加速，突然，一辆大卡车呼啸着超过我，挤到我的前面，我顿时一身冷汗，脚不知什么时候已经踩在刹车踏板上了， 好一会儿， 女儿才吐出一句话来， “好玄， 简直就是一场危机”。
“危机。”我重复了一句，刚才受到的惊吓已经不在我心里了。
“你知道吗？”
“怎么——数学——也有危机——您是说数学也有危机？”女儿不解地问。
“嗯——数学——也经历过危机。”
“不会是数学也差点撞车吧……”听得出来，女儿的语气里有些嘲弄的味道。
“你说得不错，”我坚定了语气，“不过不是和别的车撞，而是自己和自己撞车。”不等女儿发问，我继续说道，“他们有一天突然发现自己苦心论证的数学理论被一个小小的问题推翻了。”我眼睛的余光撇了女儿一眼，她正用疑惑的眼神看着我。
“到底是怎么回事？”女儿禁不住我的沉默，开始发问了。
“数学史上一共经历过三次危机，古希腊人遇到了第一次，数学大厦差点就——砰——坍塌了。”
“爸爸给我讲——”女儿已经急不可待。
“说来话长——等你放学写完作业再讲——好吗。你看，离到学校没有多长时间了。”
“好吧——爸爸。”
我心中暗想，这下好了，今天晚上又有事可干了——
数学也有危机吗？答案是有，不仅有，而且有三次，这也还只是到目前为止。而第一次数学危机就和毕达哥拉斯学派有关。
如果，关于古希腊的数学只允许你记住三个人的名字，那么我只能说，毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德是孩子不应该忘记的。
在古希腊数学史上，毕达哥拉斯是第一个使用“数学”这个词的人，这个词儿我们今天还在用。
毕达哥拉斯和他的学派认为数是万物的本源；万物是受数支配的。他用数学比例来说明一切事物之间的关系。他将事物的本质归结为数的规律。他还把优美、和谐的音乐也归结为数，并发现了它的数学基础。他的这些思想在某种程度上和我们今天的数字化有些联系，比如电视也要数字化，还有更多。
爱奥尼亚学派成就辉煌，但是历经的时间不久，到了公元前6世纪末，由于波斯游牧民族的进攻，人们都向更西的方向逃难，这就把希腊文化带到了西边更远的地方。意大利和西西里岛由此获益，变成了学术的新中心，学术在意大利领土上有了惊人的发展，尤其是在数学方面，这在以前简直不可想像。
毕达哥拉斯在意大利南部一个叫克劳登的地方建立起了学派。毕达哥拉斯学派是一个没有给后人留下什么著作，但却给数学史留下最大影响的奇怪学派。没有人怀疑，这个学派的数学修养非常高。
“毕达哥拉斯学派把数学研究变成了一种自由教育的形式”，普罗克洛斯这样评价，“并且从头来检查它的原理。”
我们不知道后来晚将近3000年的布尔巴基学派是不是受了他们的影响，也想重整以前的数学系统。
古希腊数学受了古代东方数学多大的影响难以评价，并且，对于从一个到另一个传递的渠道，由于存在缺失的环节，至今还没有取得令人满意的解释。随着20世纪对巴比伦和埃及的原始记录的研究，较为可信的是：这种影响相当大。希腊著作家们本人就表示过对东方智慧的佩服，并且，每一个到埃及和巴比伦旅行过的人都能从中获益匪浅。
对希腊数学最早的了解，可以从普罗克拉斯的《欧德姆斯概要》里看到。这本书包括普罗克拉斯给欧几里得《原本》第一卷作的许多注释，可以看作是从原始时代到欧几里得的希腊几何学发展过程的简短概述。
普罗克拉斯虽然生活于公元5世纪，比希腊数学的开创要迟上近千年，但他参考了那个时候可以找到的若干史料和评论性著作。这些史料和著作除了由他和其他人保留下来并引用了其中的片断以外，现在都已丢失。看来，在这些丢失了的著作中，有一部相当完整的希腊几何学历史概略。 《欧德姆斯概要》一书之所以取这样的名称， 是因为它是以欧德姆斯写的这部较早的著作为基础的。
“由于毕达哥拉斯的追随者给他罩上了一层神话之雾”，休伊斯说，“我们对他的了解几乎谈不上什么肯定性。” 大致看来， 他是在公元前572年左右出生于爱琴海的萨摩斯岛。他大约比泰勒斯小50岁，住在离泰勒斯的故乡米利都城不远的地方，也许曾就学于这位长辈，那时候的学校远远不像现在这样稠密。他可能在埃及寄居过一个时期，并曾到各处旅行。
回家以后，他发现萨摩斯岛的乡亲们处于波斯统治者的暴政之下，他创办了著名的毕达哥拉斯学派来继续他们的对真理的探究，并且以其秘密结社来躲避统治者的迫害。但厄运并没有远离他们，据说，毕达哥拉斯逃到了梅塔庞通并死在那里， 也许是在75岁，也许是80岁的高龄时被杀的。该团体虽然形式上解散了，但实际还继续存在了至少200年之久。
算术、几何学、音乐、球面学一起，构成毕达哥拉斯研究计划的基本课程，称为四艺；再加上文法、逻辑和修辞学三学科，是中世纪受教育的人必修的七门课。因为毕达哥拉斯的讲授全是口头的，并且，该团体照例将所有发现都归功于其领导者，所以，现在很难确切地知道哪个发现是毕达哥拉斯本人的，哪个是该团体其他成员的。
毕达哥拉斯学派总是用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物本质就是数。他们以发现勾股定理——西方叫做毕达哥拉斯定理——闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。
这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。
伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。后者想通过数学去探索永恒的真理，并以此来诠释世界。
毕达哥拉斯学派对于自然现象中的某些数学关系，已经有了印象。他们已经知道，长度与4，3，2成比例的震动弦能够产生一个主音以及它的第五音和第八音，这也许算得上是用数字界定声音的最初记录。
结果，关于数的科学吸引了他们强烈的注意，而前人所发展起来的计算技术却反而不大被他们所关心了。他们首先把抽象的数字概念放到首要地位。
他们把数分成了奇数和偶数、素数和合数、完全数。他们在研究这些数的时候发现了许多相当复杂的定理，其中有许多后来被欧几里得收集到他的著作《几何原本》中，有些成了现代数学、比如群论的出发点。
毕达哥拉斯领导的学派，进一步地将数学理论从具体的事物中抽象出来，给予数学以特殊独立的地位。同时，他们也引发了第一次数学危机。
第一次危机发生在公元前580年至568年之间。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
这时候该学派的一个成员希伯索斯发出了不同的声音，这给他带来了不可思议的结局，并由此引发了第一次数学危机。他对于勾股定理通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解，使当时希腊数学家们深感不安。
相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死。人们不禁要问，由整数构筑的数学大厦难道要坍塌吗？
引起第一次数学危机的还有芝诺的四个悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是“一” 的学说。
芝诺据说是一个自学成才的乡村孩子，是数学家帕门尼茨的朋友。他在与他的保护人一起访问雅典时，发明了四个简单的悖论，把一些自鸣得意的哲学家搞得不知所措。和泰勒斯一样，芝诺是一个不同寻常的人，有意思的地方是他所提出的这四个悖论竟然是后来许多数学分支的起点。
如果你想考验一下自己的智慧，那么你可以看看芝诺提出的这四个悖论：
“两分法”：
向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能继续。
“阿基里斯追不上乌龟”：
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头的路程一再平分。
“飞矢不动”：
飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了所以飞出的箭不能处于运动状态。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。
“街道上的游行队伍”：
A、B两支队伍以等速向相反方向运动。从静止的C看来， 比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A队伍看来，则B队伍在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。
芝诺关于运动的“四个悖论”所得出的结论明显地与人们的直觉相矛盾，但在当时却被认为是难以驳倒的。其实，它们之间看起来似乎是各不相关的，但它们总的思想却极其深刻地揭露了运动的矛盾本质。面对芝诺悖论，当时的科学理论包括数学理论似乎都陷入了不可解决的矛盾困境。
当时，人们对时间和空间有两种对立的看法：一是空间和时间是无限可分的； 二是空间和时间是由不可分的小段组成的 （像放电影那样） 。按照第一种看法，运动是连续的；按照第二种看法，运动将是一连串的小跳动。芝诺悖论就正是针对上述两种看法提出来的。
从思想史上看，芝诺悖论虽然提出了如何理解有限与无限、间断与连续、时间与空间、运动与静止等问题，但并未解决这些问题。当然，芝诺视运动为矛盾而加以否定时，客观上却正好揭示了运动的矛盾本质。
亚里士多德在经验范围内曾逐一反驳了芝诺的四个论证，认为它们完全是错误的。但是，他并没有从概念上揭示运动的矛盾本质。相反，芝诺通过概念的论证，发现了运动的矛盾本质，这样，他的思想反而显得更深刻一些。因此，黑格尔称赞他为概念辩证法的创始人。
最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在，使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就得以解决了。
实际上，希帕索斯悖论和芝诺悖论既直接引发了“第一次数学危机”，同时也刺激了数学和逻辑学的发展。第一次数学危机后出版了两本经典著作：一是关于数学的第一本经典著作——欧几里得的《几何原本》；二是关于逻辑学问题的第一本经典著作——亚里士多德的《工具论》。这两本经典著作标志着公理几何学和逻辑学呱呱坠地了。
给孩子讲述这个“危机”故事对于培养孩子正确地对待危机很有好处，危机与机会有着最为紧密的关系。孩子从小培养正确对待危机的态度不仅可以减轻孩子长大以后因为挫折带来的压力，而且也是孩子取得成就的最为直接的方法， “危机” 是成果的 “富矿” 。